关于微分中值定理的应用高等数学专业.doc

题目： 关于微分中值定理的应用 摘要 微分中值定理是高等数学微分学的主要知识点，本文在确定罗尔定理、拉格朗日中值以及柯西中值定理的重要基础上，深入分析不同中值定理的推广延伸形式。在确定微分中值定理的经典证明的前提下，分析上述彼此之间的关系。把其相关形式的证明全部寻找出来，且分析上述证明内所使用的理论，进而全面验证使用微分中值定理得得到的分段函数的导函数的属性、讨论导数零点的存在性、分析函数性态、证明不等式与求极限。最终叙述微分中值定理的有关使用，然后确定微分中值定理在一元函数、求极限、方程实根、证明等式、证明不等式等部分的推广使用。本文核心内容为： 第一部分， 重点叙述了微分中值定理的分析和其发展包含罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式。 第二部分， 重点叙述微分中值定理在数学中的关键位置和其定义、属性、推广和部分关键的经典证明。 第三部分， 重点叙述了微分中值定理在函数状况下的与相关不等式的使用推广和真实案例、求微分中值定理求极限等。 第四部分， 重点叙述拉格朗日中值定理与柯西中值定理的行列式形式、推广延伸和其使用。 微分中值定理是数学研究中的关键内容。本文重点叙述微分中值定理的内容和多种类型，和使用微分中值定理证明多种数学问题，全面叙述微分中值定理的彼此关系。 关键词：微分中值定理，应用，推广 Abstract Differential mean value theorem of higher mathematics is the core content of differential calculus, in the three differential mean value theorem are given on the basis of further study, each extending form the generalization of the mean value theorem.The differential mean value theorem proof based on the classic, discuss the connection between them.Its extension forms of evidence are presented, and discussed these proved in the use of thought, thereby further demonstrate that the application of the differential mean value theorem that piecewise function, discuss the properties of derivative function zero of derivative existence, of studying function, the proof of inequality and limit.Finally, the differential mean value theorem in multivariate function application Key words: differential mean value theorem, application, multiple functions 31 摘 要 摘要 2 ABSTRACT 3 1.引言 5 2. 微分中值定理及其推广形式介绍 6 2.1 预备知识 6 2.2 微分中值定理及其经典证明 7 2.3 微分中值定理的推广形式及其证明 12 3.微分中值定理的应用 15 3.1一元函数微分中值定理 15 3.2利用微分中值定理求极限 18 3.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 19 3.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 20 3.5 利用微分中值定理求近似值 20 3.6 利用微分中值定理解决导数估值问题...........................................................20 3.7 利用微分中值定理讨论方程的实根...............................................................21 3.8 利用微分中值定理证明有关的等式...............................................................24 3.9 利用微分中值定理证明有关的不等式...........................................................25 4.对微分中值定理的推广 26 5.结论 30 参考文献 31 致 谢 32 1.引言 在数学研究中，微分中值定理具备非常关键的作用。在近期的数学类硕士研究生考试中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。所以分析此部分问题不只可以让我们深入了解与认知微分中值定理知识，此外对于后续的解题来说也非常关键。 微分中值定理一般涵盖罗尔（Roll）定理，拉格朗日（ Lagrange）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)公式。上述部分彼此不断递进。分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。因此此部分知识非常关键。其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。而处理上述问题是使用微分中值定理。 学者对微分中值定理的分析，总共经历了二百多年的时间，其主要从费马定理开始，经过从特殊到一般、直观到抽象，强条件到弱条件的发展时期。学者也是在上述发展时期中，开始了解到其本身的内在关系与根本特点。微分中值定理是浓缩版本的普遍化，而上述普遍化和美国数学家克拉默所说在对数学史上任何阶段中大众对数学做出贡献进行评估的，那些可以将之前统一起来而为此后发展寻找道路的概念，就应该被当做最深刻的定义。从广义层面进行分析，微分中值定理是这样的定义。 微分中值定理是微分学的主要定理，在数学研究中具备关键位置，是分析函数在某区间内的综合性质的重要方式。其主要包含众多定理。此处拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊案例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊案例。要想全面的分析中值定理，也需要掌握具体的推广方式和利用中值定理来处理函数的相关问题。文献1叙述微分中值定理的表达和典型证明，且延伸出具体的推广形式；文献2使用微分中值定理得出分段函数在分段点可导性的重要判定方式，之后得出分段函数的不同性质，且确定了分段函数的导数性质的使用案例；文献3叙述三个微分中值定理性质彼此间的关系，通过几何意义进行解题应用、分析函数零点的存在性和个数估计、明确证明函数恒是常数的多种方式；文献4使用微分中值定理表述反函数指数导数求导法则，在指数导数意义下创建知名的罗尔定理，拉格朗日中指与柯西中值定理；文献5叙述了微分中值定理的证明是利用创建辅助函数，在罗尔中值定理的前提上验证的，受到启迪，本文创建另类辅助函数，使用罗尔中值定理验证微分中值定理的全新方式，且叙述了微分中值定理在处理数学问题中的使用；文献6利用弱化微分中值定理的要求，得出减弱之后的结论，也就是中值定理的不等式形式，其在大部分中都有普通中值定理的效果，此外使用时期也弱化了少数条件；文献7叙述了罗尔定理逆命题的不成立性、拉格朗日定理结果内的点非任意性且寻找出充足的补充，研究论述了微分中值定理的使用；文献8根据案例研究了微分中值定理证明内的原函数法、积分法、K值法等众多方式；文献9和8也都分析了副主函数的众多方式且增加了使用函数增量构造辅助函数的方式；文献10使用实函数的微分中值定理检验向量函数对微分中值定理的不成立性，且确定出单纯的对微分中值定理成立的向量函数的类型；文献11全面叙述了微分中值定理的使用，包含解方程的根、证明不等式、证明等式，也确定出函数在特定环境中问题思路研究；文献12使用微分中值定理整理出部分解题方式。根据以上资料我们就可以分析对于多元函数来说的微分中值定理。 2. 微分中值定理及其推广形式介绍 2.1 预备知识 由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些连续函数的性质、定理． 性质2.1[1]（极限的保号性） 若而，则存在，使当时，． 定理2.2[1]（最值定理） 闭区间上的连续函数在上必有最大值和最小值，亦即在内，至少有两点和，使得对内的一切，有 ． 这里和分别是在上的最大值与最小值． 定理2.3[1]（介值定理） 闭区间上的连续函数可以取其最大值和最小值之间的一切值． 定理2.4[1]（零点存在定理） 若在连续，和异号，那么在内至少有一点，使 ． 定义2.5[1](导数的定义) 设有函数在附近有定义，对应于自变量的任意改变量，函数的改变量为．此时，如果极限 存在，则称此极限值为函数在点的导数，记为． 2.2 微分中值定理及其经典证明 2.2.1 罗尔定理的概念及证明 若函数满足下列条件： ① 在闭区间[a,b]内连续； ② 在开区间（a,b）内可导； ③ ; 则在（a,b）内至少存在一点c，使 证明：因为在[a,b]上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则在[a,b]上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若m<M，则因(a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点c处取得，从而c是的极值点，由条件(ii) 在点c处可导，故由费马定理推知=0。 例1. 设函数在区间上存在二阶导数，且.试证明在内至少存在一点，使．还至少存在一点,使 分析 单纯从所要证明的结果来看，首先应想到用罗尔定理．由题设知，，且在上满足罗尔定理的前两个条件，故在内至少存在一点，使．至于后一问，首先得求出，然后再考虑问题． ，且．这样根据题设，我们只要在上对函数再应用一次罗尔定理，即可得到所要的结论． 证 由于在上存在二阶导数，且，在上满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使． 由于 ， 且，在上满足罗尔定理的条件，故在 内至少存在一点，使．由于，所以． 2.2.2 拉格朗日中值定理的概念及证明 若函数满足下列条件： ①在闭区间[a,b]内连续； ②在开区间（a,b）内可导； 则至少存在一点c，使； 证：根据“发现”法可证：设，则，即.造函数满足条件，于是满足罗尔定理的全部条件.而有：，即，故 例2 设在上可导，，试证明在内必存在一点,使得 ． 分析 要用拉格朗日中值定理证明一个含有中值的等式，第一步要将含有的项全部移到等式的右端，其余的项全部移到等式的左端,即作如下恒等变形： . (3) 第二步是把等式右端中的都换为,并设 . 第三步是要去确定的原函数.本问题中的原函数为 . 第四步确定了的原函数后,针对相应的区间,验证(3)式左端是否为 或. 若是,则只要对在上应用拉格朗日中值定理即可得到所要的结论;否则,需另辟新径,考虑