2023学年湖北省黄冈市重点名校高三下学期一模考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在直三棱柱中，，，点分别是线段的中点，，分别记二面角，，的平面角为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知实数满足不等式组，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知向量与向量平行，，且，则（ ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则=（ ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为，若F到直线的距离为，则E的离心率为( ) A． B． C． D． 6．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ） A． B． C． D． 8．已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 9．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 10．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C． D． 11．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ） A． B． C． D． 12．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如：)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是(　　) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点与抛物线交于、两点和椭圆交于、两点，为抛物线准线上一动点，满足，，当面积最大时，直线的方程为______. 14．点是曲线（）图象上的一个定点，过点的切线方程为，则实数k的值为______. 15．函数的定义域为__________． 16．若点在直线上，则的值等于______________ . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 18．（12分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行. （1）求的值； （2）若函数，求证：恒成立. 19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)把的参数方程化为极坐标方程： (2)求与交点的极坐标. 20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）若曲线、交于、两点，是曲线上的动点，求面积的最大值. 21．（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛. （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数； （2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望. 22．（10分）设抛物线过点. （1）求抛物线C的方程； （2）F是抛物线C的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A，B两点，若，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案． 【题目详解】 解：因为，，所以，即 过点作，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，0，，，，，，0，，，1，， ，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 同理可求平面的法向量， 平面的法向量，平面的法向量． ，，． ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 2、B 【答案解析】 作出约束条件的可行域，在可行域内求的最小值即为的最小值，作，平移直线即可求解. 【题目详解】 作出实数满足不等式组的可行域，如图（阴影部分） 令，则， 作出，平移直线，当直线经过点时，截距最小， 故， 即的最小值为. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 3、B 【答案解析】 设，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量的坐标. 【题目详解】 设，且，， 由得，即，①，由，②， 所以，解得，因此，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 4、B 【答案解析】 利用复数的代数运算法则化简即可得到结论. 【题目详解】 由，得， 所以，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题. 5、A 【答案解析】 由已知可得到直线的倾斜角为，有，再利用即可解决. 【题目详解】 由F到直线的距离为，得直线的倾斜角为，所以， 即，解得. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查椭圆离心率的问题，一般求椭圆离心率的问题时，通常是构造关于的方程或不等式，本题是一道容易题. 6、B 【答案解析】 由题意得出的值，进而利用离心率公式可求得该双曲线的离心率. 【题目详解】 双曲线的渐近线方程为，由题意可得， 因此，该双曲线的离心率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率，利用公式计算较为方便，考查计算能力，属于基础题. 7、B 【答案解析】 观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果. 【题目详解】 已知，则，所以有， ， ， ，两边同时相加得，又因为，所以. 故选： 【答案点睛】 本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解. 8、A 【答案解析】 先利用最高点纵坐标求出A，再根据求出周期，再将代入求出φ的值.最后将代入解析式即可. 【题目详解】 由图象可知A＝1， ∵，所以T＝π，∴. ∴f（x）＝sin（2x+φ），将代入得φ）＝1， ∴φ，结合0＜φ，∴φ. ∴. ∴sin . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查三角函数的据图求式问题以及三角函数的公式变换.据图求式问题要注意结合五点法作图求解.属于中档题. 9、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 10、B 【答案解析】 根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果. 【题目详解】 对命题： 可知， 所以R， 故命题为假命题 命题 ： 取，可知 所以R， 故命题为真命题 所以为真命题 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 11、B 【答案解析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【题目详解】 本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以， ，，故当输入，，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 12、B 【答案解析】 基本事件总数，能表示为两个不同费马素数的和只有，，，共有个，根据古典概型求出概率． 【题目详解】 在不超过的正偶数中随机选取一数，基本事件总数 能表示为两个不同费马素数的和的只有，，，共有个 则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据均值不等式得到，，根据等号成立条件得到直线的倾斜角为，计算得到直线方程. 【题目详解】 由椭圆，可知，，，， ， ，， （当且仅当，等号成立）， ，，，， 直线的倾斜角为，直线的方程为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 14、1 【答案解析】 求出导函数，由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得． 【题目详解】 设， 由题意，∴，，，即， ∴，． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题． 15、 【答案解析】 根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域. 【题目详解】 解:要使函数有意义,则 , 即.则定义域为: . 故答案为: 【答案点睛】 本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件. 16、 【答案解析】 根据题意可得，再由，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，得，又，解得， 当时，则， 此时； 当时，则， 此时， 综上，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或． 【答案解析】 试题分析：（1）设直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示； （2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在. 试题解析：解：(1)设直线，，，． ∴由得， ∴，． ∴直线的斜率，即． 即直线的斜率与的斜率的乘积为定值． （2）四边形能为平行四边形． ∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是， 由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为． ∴由得，即 将点的坐标代入直线的方程得，因此． 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 ∴．解得，． ∵，，， ∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形． 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用 【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点