2023学年湖北省荆州中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的虚部为（ ） A． B． C．2 D． 2．的展开式中有理项有（ ） A．项 B．项 C．项 D．项 3．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ） A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个 B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了 C．8月是空气质量最好的一个月 D．6月份的空气质量最差. 4．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若与线性相关，且，则实数（ ） A． B． C． D． 5．已知平面，，直线满足，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 6．运行如图程序，则输出的S的值为（　　） A．0 B．1 C．2018 D．2017 7．已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8．下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 9．执行程序框图，则输出的数值为（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条直线与双曲线右支交于两点，坐标原点为，若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好； ③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“ ，”的充要条件；其中真命题的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 12．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是______. 14．设实数，若函数的最大值为，则实数的最大值为______. 15．函数在的零点个数为________． 16．已知变量 (m>0)，且，若恒成立，则m的最大值________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知与有两个不同的交点，其横坐标分别为（）. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. 18．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）. （1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（12分）如图，四边形中，，，，沿对角线将翻折成，使得. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20．（12分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是. （1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线； （2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程. 21．（12分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 22．（10分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部. 【题目详解】 解：=， 故虚部为-2. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算和复数的概念. 2、B 【答案解析】 由二项展开式定理求出通项，求出的指数为整数时的个数，即可求解. 【题目详解】 ，， 当，，，时，为有理项，共项. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选． 4、B 【答案解析】 求出，把坐标代入方程可求得． 【题目详解】 据题意，得，所以，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值． 5、A 【答案解析】 ，是相交平面，直线平面，则“” “”，反之，直线满足，则或//或平面，即可判断出结论． 【题目详解】 解：已知直线平面，则“” “”， 反之，直线满足，则或//或平面， “”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 6、D 【答案解析】 依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：，不满足条件； 第二次：，不满足条件； 第三次：，不满足条件； 第四次：，不满足条件； 第五次：，不满足条件； 第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D． 7、A 【答案解析】 根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【题目详解】 因为， 所以. 因为， 所以， 因为，为增函数， 所以 所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 8、D 【答案解析】 根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误. 【题目详解】 对于，，，错误； 对于，在上单调递减，，错误； 对于，，，，错误； 对于，在上单调递增，，正确. 故选：. 【答案点睛】 本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幂函数的单调性. 9、C 【答案解析】 由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【题目详解】 ，，，，，满足条件， ，，，，满足条件， ，，，，满足条件， ，，，，满足条件， ，，，，不满足条件， 输出. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题. 10、B 【答案解析】 由题可知，，再结合双曲线第一定义，可得，对有， 即，解得，再对，由勾股定理可得，化简即可求解 【题目详解】 如图，因为，所以.因为所以. 在中，，即， 得，则.在中，由得. 故选：B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题 11、C 【答案解析】 ①根据线性相关性与r的关系进行判断,  ②根据相关指数的值的性质进行判断,  ③根据方差关系进行判断,  ④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【题目详解】 ①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;   ②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误; ③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;  ④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点 必满足线性回归方程 ；因此“满足线性回归方程”是“ ，”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题. 12、D 【答案解析】 设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【题目详解】 设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知： ，因此双曲线的渐近线方程为： . 故选：D 【答案点睛】 本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先由三视图在长方体中将其还原成直观图，再利用球的直径是长方体体对角线即可解决. 【题目详解】 由三视图知该几何体是一个三棱锥，如图所示 长方体对角线长为，所以三棱锥外接球半径为，故所求外接球的 表面积. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查几何体三视图以及几何体外接球的表面积，考查学生空间想象能力以及基本计算能力，是一道基础题. 14、 【答案解析】 根据，则当时，，即.当时，显然成立；当时，由，转化为，令，用导数法求其最大值即可. 【题目详解】 因为，又当时，，即. 当时，显然成立； 当时，由等价于， 令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，则， 又，得， 因此的最大值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查导数在函数中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题. 15、 【答案解析】 求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数． 【题目详解】 详解： 由题可知，或 解得,或 故有3个零点． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题． 16、 【答案解析】 在不等式两边同时取对数，然后构造函数f（x）＝，求函数的导数，研究函数的单调性即可得到结论． 【题目详解】 不等式两边同时取对数得， 即x2lnx1＜x1lnx2，又 即成立， 设f（x）＝，x∈（0，m）， ∵x1＜x2，f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在（0，m）上为增函数， 函数的导数， 由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1， 得0＜x＜e， 即函数f（x）的最大增区间为（0，e）， 则m的最大值为e 故答案为：e 【答案点睛】 本题考查函数单调性与导数之间的应用，根据条件利用取对数得到不等式,从而可构造新函数，是解决本题的关键 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）利用导数研究的单调性，分