2023学年湖南省娄底市双峰一中等五校重点中学高三考前热身数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（ ） A． B． C． D． 2． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的离心率为（　　） A． B． C． D． 4．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（ ） （注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆） A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均 B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102 C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小 D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 5．已知平行于轴的直线分别交曲线于两点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．复数的（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．已知复数满足（是虚数单位），则=（　　） A． B． C． D． 8．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 9．如图，已知三棱锥中，平面平面，记二面角的平面角为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ） A． B． C． D． 10．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．设正项等差数列的前项和为，且满足，则的最小值为 A．8 B．16 C．24 D．36 12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．数据的标准差为_____． 14．已知平面向量，，且，则向量与的夹角的大小为________． 15．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________． 16．已知函数，若在定义域内恒有，则实数的取值范围是__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，面. （1）在线段上是否存在点，使面，说明理由； （2）求二面角的余弦值. 18．（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛. （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数； （2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望. 19．（12分） “绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛. （1）设事件为 “选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率； （2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望 20．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）求证: 是的中点； （2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（12分）如图，在长方体中，，为的中点，为的中点，为线段上一点，且满足，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 22．（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为，（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （Ⅰ）求的极坐标方程和的直角坐标方程； （Ⅱ）设分别交于两点（与原点不重合），求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果. 【题目详解】 由题可知：点E是中点，点F是中点 ， 所以 又 所以 则 故选：C 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题. 2、A 【答案解析】 先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B. 【题目详解】 由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以. 故选：A 【答案点睛】 此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题. 3、C 【答案解析】 由双曲线与双曲线有相同的渐近线，列出方程求出的值，即可求解双曲线的离心率，得到答案． 【题目详解】 由双曲线与双曲线有相同的渐近线， 可得，解得，此时双曲线， 则曲线的离心率为，故选C． 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4、D 【答案解析】 采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【题目详解】 A正确，从图表二可知， 3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B正确，从图表二可知， 4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C正确，从图表一中可知， 只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D错误，从图表一可知 上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【答案点睛】 本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 5、A 【答案解析】 设直线为，用表示出，，求出，令，利用导数求出单调区间和极小值、最小值，即可求出的最小值． 【题目详解】 解：设直线为，则，， 而满足， 那么 设，则，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 故选：． 【答案点睛】 本题考查导数知识的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导确定函数的最小值是关键，属于中档题． 6、C 【答案解析】 所对应的点为（-1，-2）位于第三象限. 【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 7、A 【答案解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 解：由，得， ． 故选． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 8、A 【答案解析】 根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l1∥l2⇒， 由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件， 故答案为：A 【答案点睛】 （1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 9、A 【答案解析】 作于,于,分析可得,,再根据正弦的大小关系判断分析得,再根据线面角的最小性判定即可. 【题目详解】 作于,于. 因为平面平面,平面.故, 故平面.故二面角为. 又直线与平面所成角为,因为, 故.故,当且仅当重合时取等号. 又直线与平面所成角为,且为直线与平面内的直线所成角,故,当且仅当平面时取等号. 故. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 10、B 【答案解析】 构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果. 【题目详解】 构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 11、B 【答案解析】 方法一：由题意得，根据等差数列的性质，得成等差数列，设，则，，则，当且仅当时等号成立，从而的最小值为16，故选B． 方法二：设正项等差数列的公差为d，由等差数列的前项和公式及，化简可得，即，则，当且仅当，即时等号成立，从而的最小值为16，故选B． 12、C 【答案解析】 ①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于. 【题目详解】 ①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为，所以， 所以，所以，取等号时， 所以最大距离为，故错误； ③：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确； ④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先计算平均数再求解方差与标准差即可. 【题目详解】 解：样本的平均数, 这组数据的方差是 标准差, 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了标准差的计算,属于基础题. 14、 【答案解析】 由，解得，进而求出，即可得出结果. 【题目详解】 解：因为，所以，解得，所以，所以向量与的夹角的大小为． 都答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的运算，平面向量垂直，向量夹角等基础知识；考查运算求解能力，属于基础题． 15、