2023学年湖南省五市十校高三六校第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表: 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 得到正确结论是( ) A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关” B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关” C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关” D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关” 2．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 3．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 4．已知等差数列中，，则（ ） A．20 B．18 C．16 D．14 5．已知（），i为虚数单位，则（ ） A． B．3 C．1 D．5 6． “且”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．，则与位置关系是 (　　) A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交 9．设实数、满足约束条件，则的最小值为（ ） A．2 B．24 C．16 D．14 10．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（ ） A． B． C． D． 11．已知复数，满足，则（ ） A．1 B． C． D．5 12．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答） 14．在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，CD边上动点，且满足，则的最大值为________. 15．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______. 16．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 18．（12分）已知，，分别为内角，，的对边，且. （1）证明：； （2）若的面积，，求角. 19．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 20．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 21．（12分）已知点为圆：上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求点的轨迹的极坐标方程； （2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值. 22．（10分）某景点上山共有级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为．为了简便描述问题，我们约定，甲从级台阶开始向上走，一步走一个台阶记分，一步走两个台阶记分，记甲登上第个台阶的概率为，其中，且． （1）若甲走步时所得分数为，求的分布列和数学期望； （2）证明：数列是等比数列； （3）求甲在登山过程中，恰好登上第级台阶的概率． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项. 【题目详解】 解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B. 【答案点睛】 本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题. 2、B 【答案解析】 由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积． 【题目详解】 由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示： 则该四棱锥的体积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题． 3、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 4、A 【答案解析】 设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可. 【题目详解】 设等差数列的公差为.由得,解得.所以. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题. 5、C 【答案解析】 利用复数代数形式的乘法运算化简得答案. 【题目详解】 由，得，解得. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题. 6、A 【答案解析】 画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断. 【题目详解】 如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形， 记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q， 显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:. 【答案点睛】 本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 7、B 【答案解析】 由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程． 【题目详解】 由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题． 8、D 【答案解析】 结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交． 选D． 9、D 【答案解析】 做出满足条件的可行域，根据图形即可求解. 【题目详解】 做出满足的可行域，如下图阴影部分， 根据图象，当目标函数过点时，取得最小值， 由，解得，即， 所以的最小值为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题. 10、B 【答案解析】 画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率. 【题目详解】 作出中在圆内部的区域，如图所示， 因为直线，的倾斜角分别为，， 所以由图可得取自的概率为. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题. 11、A 【答案解析】 首先根据复数代数形式的除法运算求出，求出的模即可． 【题目详解】 解：， ， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了复数求模问题，考查复数的除法运算，属于基础题． 12、A 【答案解析】 过圆外一点， 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、-40 【答案解析】 由题意，可先由公式得出二项展开式的通项，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数 【题目详解】 的二项展开式的通项公式为， r=0，1，2，3，4，5， 令， 所以的二项展开式中x项的系数为. 故答案为：-40. 【答案点睛】 本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题. 14、 【答案解析】 利用平面直角坐标系，设出点E，F的坐标，由可得，利用数量积运算求得，再利用线性规划的知识求出的最大值. 【题目详解】 建立平面直角坐标系，如图（1）所示： 设， ， ， 即， 又， 令，其中， 画出图形，如图（2）所示： 当直线经过点时，取得最大值. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题. 15、 【答案解析】 由三角函数图象相位变换后表达函数解析式，再利用三角恒等变换与辅助角公式整理的表达式，进而由三角函数值域求得最大值. 【题目详解】 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象， 则 所以，当函数最大，最大值为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查表示三角函数图象平移后图象的解析式，还考查了利用三角恒等变换化简函数式并求最值，属于简单题. 16、 【答案解析】 根据渐近线得到，，计算得到离心率. 【题目详解】 ，一条渐近线方程为：，故，，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【答案解析】 （Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可； （Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明. 【题目详解】 （Ⅰ）由已知椭圆过点得，， 又，得， 所以，即椭圆方程为. （Ⅱ）证明： 由，得， 由，得， 由韦达定理可得，， 设的中点为，得，即， ， 的中垂线方程为，即， 故得中垂线恒过点. 【答案点睛】 本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题. 18、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）利用余弦定理化简已知条件，由此证得 （2）利用正弦定理化简（1）的结论，得到，利用三角形的面积公式列方