2023年西城区初三数学期末试卷及答案2.docx

北京市西城区2023— 2023学年度第一学期期末试卷 　　　九年级数学 201 一、选择题〔此题共30分，每题3分〕 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．二次函数的最小值是 A． B．7 C． D．5 2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值为 A． B． C． D． 3．如图，⊙C与∠AOB的两边分别相切，其中OA边与⊙C 相切于点P．假设∠AOB=90°，OP=6，那么OC的长为 A．12 B． C． D． 4．将二次函数用配方法化成的形式，以下结果中正确的选项是 A． B． C． D． 5．假设一个扇形的半径是18cm，且它的弧长是12π cm，那么此扇形的圆心角等于 A．30° B．60° C．90° D．120° 6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(，2)， AB⊥x轴于点B．以原点O为位似中心，将△OAB放大为 原来的2倍，得到△OA1B1，且点A1在第二象限，那么点A1 的坐标为 A．(，4) B．(，1) C．(2，) D．(2，4) 7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，距离 灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的正东方向上的B处．这时，B处与 灯塔P的距离BP的长可以表示为 A．40海里 B．40tan37°海里 C．40cos37°海里 D．40sin37°海里 8．如图，A，B，C三点在的圆上，在△ABC中， ∠ABC=70°，∠ACB=30°，D是 的中点， 连接DB，DC，那么∠DBC的度数为 A．30° B．45° C．50° D．70° 9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，那么y与x的关系式为 A． B． C． D． 10．二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，那么m的值为 A．8 B． C． D． 二、填空题〔此题共18分，每题3分〕 11．假设，那么的值为　 　． 12．点A(，)，B(，)在抛物线上，那么　 ．〔填“>〞，“<〞或“=〞〕 13．△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，那么△DEF的周长为　 　． 14．如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20． 点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件 的AD的长度值：AD=　 　． 15．程大位所著算法统宗是一部中国传统数学重要的著作．在算法统宗中记载：“平地秋千未起，踏板离地一尺．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？〞 【注释】1步=5尺． 译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有1尺高，如将秋千的踏板往前推动两步〔10尺〕时，踏板就和人一样高，这个人身高是5尺．美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断．好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？〞 如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹．AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺．设绳索长OA=OB=x尺，那么可列方程为　 　． 16．阅读下面材料： 在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线． ：P为⊙O外一点． 求作：经过点P的⊙O的切线． 小敏的作法如下： 如图， 〔1〕连接OP，作线段OP的垂直平分线MN 交OP于点C； 〔2〕以点C为圆心，CO的长为半径作圆， 交⊙O于A，B两点； 〔3〕作直线PA，PB． 所以直线PA，PB就是所求作的切线． 老师认为小敏的作法正确． 请答复：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是 ；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是 ． 三、解答题〔此题共72分，第17﹣26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕 解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．计算：． 18．如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°． 求tanC的值． 19．抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． 〔1〕求A，B两点的坐标和此抛物线的对称轴； 〔2〕设此抛物线的顶点为C，点D与点C关于x轴对称，求四边形ACBD的面积． 20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC． 〔1〕求证：△ABD∽△DCB； 〔2〕假设AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长． 21．某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，如以下图．社区方案在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？ 22．抛物线：与x轴只有一个公共点． 〔1〕求的值； 〔2〕怎样平移抛物线就可以得到抛物线：？请写出具体的平移方法； 〔3〕假设点A〔1，〕和点B〔，〕都在抛物线：上，且，直接写出的取值范围． 23．如图，AB是⊙O的一条弦，且AB=．点C，E分别在⊙O上，且OC⊥AB于点D，∠E=30°，连接OA． 〔1〕求OA的长； 〔2〕假设AF是⊙O的另一条弦，且点O到AF的距离为， 直接写出∠BAF的度数． 24．奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度〔测角仪高度忽略不计〕．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．〔参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈〕 25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E． 〔1〕求证：∠PCE=∠PEC； 〔2〕假设AB=10，ED=，sinA=，求PC的长． 图1 26．阅读下面材料： 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线与 双曲线交于A〔1，3〕和B〔，〕两点． 观察图象可知：①当或时，； ②当或时，，即通过观察函 数的图象，可以得到不等式的解集． 有这样一个问题：求不等式的解集． 某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究． 下面是他的探究过程，请将〔2〕、〔3〕、〔4〕补充完整： 〔1〕将不等式按条件进行转化 当时，原不等式不成立； 当时，原不等式可以转化为； 当时，原不等式可以转化为； 图2 〔2〕构造函数，画出图象 设，，在同一坐标系 中分别画出这两个函数的图象． 双曲线如图2所示，请在此坐标系中 画出抛物线； 〔不用列表〕 〔3〕确定两个函数图象公共点的横坐标 观察所画两个函数的图象，猜测并通过代入函数解析式验证可知：满足的所有的值为　 　； 〔4〕借助图象，写出解集 结合〔1〕的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式的解集为　 　． 27．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象经过点A〔，〕，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限． 〔1〕求二次函数的表达式； 〔2〕连接AB，求AB的长； 〔3〕连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论． 28．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC= 4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN． 〔1〕如图1，当BD=2时，AN=_______，NM与AB的位置关系是____________； 〔2〕当4<BD<8时， ①依题意补全图2； ②判断〔1〕中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论； 〔3〕连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果． 图1 图2 备用图 29．在平面直角坐标系xOy中，过⊙C上一点P作⊙C的切线l．当入射光线照射在点P处时，产生反射，且满足：反射光线与切线l的夹角和入射光线与切线l的夹角相等，点P称为反射点．规定：光线不能“穿过〞⊙C，即当入射光线在⊙C外时，只在圆外进行反射；当入射光线在⊙C内时，只在圆内进行反射．特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线． 光线在⊙C外反射的示意图如图1所示，其中∠1=∠2． 图1 图2 图3 〔1〕自⊙C内一点出发的入射光线经⊙C第一次反射后的示意图如图2所示，P1是第1个反射点．请在图2中作出光线经⊙C第二次反射后的反射光线； 〔2〕当⊙O的半径为1时，如图3， ①第一象限内的一条入射光线平行于x轴，且自⊙O的外部照射在其上点P处，此光线经⊙O反射后，反射光线与y轴平行，那么反射光线与切线l的夹角为__________°； ②自点A(，)出发的入射光线，在⊙O内不断地反射．假设第1个反射点P1在第二象限，且第12个反射点P12与点A重合，那么第1个反射点P1的坐标为______________； 〔3〕如图4，点M的坐标为(，)，⊙M的半径为1．第一象限内自点O出发的入射光线经⊙M反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点P的纵坐标的取值范围． 图4