2023学年海南省八校联盟高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，若对任意，关于x的不等式（e为自然对数的底数）至少有2个正整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．从抛物线上一点 (点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线上的点到其焦点的距离比点到轴的距离大，则抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．集合中含有的元素个数为（ ） A．4 B．6 C．8 D．12 7．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m． A．1 B． C． D．2 9．设等差数列的前n项和为，且，，则( ) A．9 B．12 C． D． 10．的内角的对边分别为，若，则内角（ ） A． B． C． D． 11．已知集合，则等于（ ） A． B． C． D． 12．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某部门全部员工参加一项社会公益活动，按年龄分为三组，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该部门员工总人数为__________. 14．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________ 15．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____. 16．（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知直线与抛物线交于两点. （1）当点的横坐标之和为4时，求直线的斜率； （2）已知点，直线过点，记直线的斜率分别为，当取最大值时，求直线的方程. 18．（12分）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B−CG−A的大小. 19．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离为2， （1）求的值与抛物线的方程； （2）抛物线上第一象限内的动点在点右侧，抛物线上第四象限内的动点，满足，求直线的斜率范围. 20．（12分）在如图所示的多面体中，四边形是矩形，梯形为直角梯形，平面平面，且，，. （1）求证：平面. （2）求二面角的大小. 21．（12分）如图，三棱柱中，侧面是菱形，其对角线的交点为，且． （1）求证：平面； （2）设，若直线与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 22．（10分）某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:. （1）求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)； （2）记每日生产平均成本求证：； （3）若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减，连续注入天，求证:这天的总投入资金大于亿元. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 构造函数（），求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知，要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果. 【题目详解】 构造函数（），则（），所以在上单调递增，所以，故问题转化为至少存在两个正整数x，使得成立，设，，则，当时，单调递增；当时，单调递增.，整理得. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难. 2、D 【答案解析】 取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解. 【题目详解】 如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN， 则，，即为二面角的平面角， 过点B作于O，则平面ACD， 由，可得，，， 即点O为的中心， 三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为， ，, 解得， 三棱锥的外接球的表面积为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题. 3、A 【答案解析】 根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解. 【题目详解】 设点的坐标为， 由题意知，焦点,准线方程， 所以，解得， 把点代入抛物线方程可得， ，因为，所以， 所以点坐标为， 代入斜率公式可得，. 故选：A 【答案点睛】 本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题. 4、B 【答案解析】 由抛物线的定义转化，列出方程求出p，即可得到抛物线方程． 【题目详解】 由抛物线y2＝2px（p＞0）上的点M到其焦点F的距离比点M到y轴的距离大，根据抛物线的定义可得，，所以抛物线的标准方程为：y2＝2x． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题． 5、B 【答案解析】 根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值. 【题目详解】 由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上， 表示复数对应的点与点间的距离， 又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1， 所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题. 6、B 【答案解析】 解：因为集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 7、B 【答案解析】 根据题意计算，，，解不等式得到答案. 【题目详解】 ∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴. ∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴. ∴ . ∵，∴，解得.则当时，的最大值是9. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 8、C 【答案解析】 由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解 【题目详解】 由题中图像可得， 由变速直线运动的路程公式，可得 ． 所以物体在间的运动路程是． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 9、A 【答案解析】 由，可得以及，而，代入即可得到答案. 【题目详解】 设公差为d，则解得 ，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 10、C 【答案解析】 由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得． 【题目详解】 ∵，由正弦定理可得， ∴， 三角形中，∴，∴． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键． 11、C 【答案解析】 先化简集合A，再与集合B求交集. 【题目详解】 因为，， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 12、C 【答案解析】 根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项. 【题目详解】 由图可知，ABD选项可以围成三棱柱，C选项不是三棱柱展开图. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、60 【答案解析】 根据样本容量及各组人数比，可求得C组中的人数；由组中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C组的总人数，即可由各组人数比求得总人数. 【题目详解】 三组人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本， 则三组抽取人数分别. 设组有人，则组中甲、乙二人均被抽到的概率， ∴解得. ∴该部门员工总共有人. 故答案为：60. 【答案点睛】 本题考查了分层抽样的定义与简单应用，古典概型概率的简单应用，由各层人数求总人数的应用，属于基础题. 14、0.35 【答案解析】 根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来． 【题目详解】 解：由题意知本题是一个对立事件的概率， 抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品， ， 抽到不是一等品的概率是， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题． 15、 【答案解析】 从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率. 【题目详解】 由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种， 小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种， 所以其概率为. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数. 16、 【答案解析】 由题意，，则，得．由题意可设的方程为，，联立方程组，消去得，恒成立，，，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号．故面积的取值范围是. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）设，根据直线的斜率公式即可求解； （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，，结合直线的斜率公式得到，换元后讨论的符号，求最值可求解. 【题目详解】 （1）设， 因为 ， 即直线的斜率为1. （2）显然直线的斜率存在， 设直线的方程为. 联立方程组， 可得 则 ， 令，则 则 当时，； 当且仅当，即时，解得时，取“=”号， 当时，； 当时， 综上所述，当时，取得最大值， 此时直线的方程是. 【答案点睛】 本题主要考查了直线的斜率公式，直线与抛物线的位置关系，换元法，均值不等式，考查了运算能力，属于难题. 18、 (1)见详解；(2) . 【答案解析】 (1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，