2023学年湖北省华中师范大学第一附属中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A． B．(1,2), C． D． 2．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( ) A．，， B．， C．， D．， 3．已知集合A＝{y|y}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}，则∁R（A∩B）＝（ ） A．[0，） B．（﹣∞，0）∪[，+∞） C．（0，） D．（﹣∞，0]∪[，+∞） 4．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（ ） A． B． C． D． 5．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ） A． B． C． D．4 7．已知四棱锥的底面为矩形，底面，点在线段上，以为直径的圆过点.若，则的面积的最小值为（ ） A．9 B．7 C． D． 8．已知三棱锥中，为的中点，平面，，，则有下列四个结论：①若为的外心，则；②若为等边三角形，则；③当时，与平面所成的角的范围为；④当时，为平面内一动点，若OM∥平面，则在内轨迹的长度为1．其中正确的个数是（ ）． A．1 B．1 C．3 D．4 9．在的展开式中，含的项的系数是（ ） A．74 B．121 C． D． 10．已知的内角、、的对边分别为、、，且，，为边上的中线，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号） 因为所以不是函数的周期； 对于定义在上的函数若则函数不是偶函数； “”是“”成立的充分必要条件； 若实数满足则． 14．平行四边形中，，为边上一点（不与重合），将平行四边形沿折起，使五点均在一个球面上，当四棱锥体积最大时，球的表面积为________. 15．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是__________． 16．根据如图的算法，输出的结果是_________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围. 18．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数． （1）求p的值； （2）求证：数列{an}为等比数列； （3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”． 19．（12分）某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）： 若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”. （1）从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率； （2）根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题. 组别 分组 频数 频率 1 2 3 4 ①估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； ②若从所有员工中任选3人，记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求的分布列和数学期望. 20．（12分）如图，四边形是边长为3的菱形，平面. （1）求证：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的正弦值. 21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点、分别为，的中点，且平面平面. （1）求证：平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 22．（10分）如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，分别为，的中点，为棱上一点，若平面. （1）求线段的长； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【题目详解】 已知双曲线的右焦点为， 若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率， ， 故选：． 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件． 2、B 【答案解析】 根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】 对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出. 对于B选项，由于，，所以.故B选项正确. 对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出. 对于D选项，当，时，无法得出. 综上所述，的一个充分条件是“，” 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题. 3、D 【答案解析】 求函数的值域得集合，求定义域得集合，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【题目详解】 集合A＝{y|y}＝{y|y≥0}＝[0，+∞）； B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x}＝（0，）， ∴A∩B＝（0，）， ∴∁R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[，+∞）. 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目. 4、B 【答案解析】 先由三角函数的定义求出，再由二倍角公式可求. 【题目详解】 解：角的终边与单位圆交于点 ， ， 故选：B 【答案点睛】 考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 5、D 【答案解析】 求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案. 【题目详解】 由题意，直线的斜率为， 可得直线的方程为， 把直线的方程代入双曲线，可得， 设，则， 由的中点为，可得，解答， 又由，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 6、D 【答案解析】 如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，设，，则，利用均值不等式得到答案. 【题目详解】 如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则， 设，，则， 当，即时等号成立. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 7、C 【答案解析】 根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到之间的等量关系，再用表示出的面积，利用均值不等式即可容易求得. 【题目详解】 设，，则. 因为平面，平面，所以. 又，，所以平面，则. 易知，. 在中，， 即，化简得. 在中，，. 所以. 因为， 当且仅当，时等号成立，所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题. 8、C 【答案解析】 由线面垂直的性质,结合勾股定理可判断①正确; 反证法由线面垂直的判断和性质可判断②错误;由线面角的定义和转化为三棱锥的体积,求得C到平面PAB的距离的范围,可判断③正确;由面面平行的性质定理可得线面平行,可得④正确. 【题目详解】 画出图形： 若为的外心，则， 平面,可得,即，①正确; 若为等边三角形，，又 可得平面，即,由可得 ，矛盾，②错误; 若，设与平面所成角为 可得， 设到平面的距离为 由可得 即有，当且仅当取等号. 可得的最大值为， 即的范围为，③正确； 取中点，的中点，连接 由中位线定理可得平面平面 可得在线段上，而，可得④正确； 所以正确的是：①③④ 故选：C 【答案点睛】 此题考查立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，处理这类问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.属于一般性题目. 9、D 【答案解析】 根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【题目详解】 因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 10、B 【答案解析】 延长到，使，连接，则四边形为平行四边形，根据余弦定理可求出，进而可得的面积. 【题目详解】 解：延长到，使，连接，则四边形为平行四边形， 则，，， 在中， 则，得， . 故选：B. 【答案点睛】 本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题. 11、C 【答案解析】 由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【题目详解】 由，可得， 可得， 通分得， 整理得，所以， 因为为三角形的最大角，所以， 又由余弦定理 ，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 又由，所以的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力. 12、B 【答案解析】 由题意可得的周期为，当时，，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围. 【题目详解】 是定义域为R的偶函数，满足任意， ，令， 又， 为周期为的偶函数， 当时，， 当， 当， 作出图像，如下图所示： 函数至少有三个零点， 则的图像和的图像至少有个交点， ，若， 的图像和的图像只有1个交点，不合题意， 所以，的图像和的图像至少有个交点， 则有，即， . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 对①,根据周期的定义判定即可. 对②,根据偶函数满足的性质判定即可. 对③,举出反例判定即可. 对④,求解不等式再判定即可. 【题目详解】 解：因为当时, 所以由周期函数的定义知不是函数的周期, 故正确； 对于定义在上的函数, 若,由偶函数的定义知函数不是偶函数, 故