2023学年湖北省八市高三考前热身数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知△ABC中，．点P为BC边上的动点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．双曲线的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r＞0)相切，则r等于(　　) A． B．2 C．3 D．6 4．若向量，，则与共线的向量可以是（　　） A． B． C． D． 5．设分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点，若，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A． B． C． D． 6．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4. 给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．如果实数满足条件，那么的最大值为（ ） A． B． C． D． 8．已知实数、满足约束条件，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 12．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（　　） A．300， B．300， C．60， D．60， 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设满足约束条件，则目标函数的最小值为_. 14．已知集合，，则__________． 15．已知单位向量的夹角为,则=_________. 16．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则 . 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，. （1）求的值； （2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴. 18．（12分）如图，已知在三棱锥中，平面，分别为的中点，且. （1）求证：； （2）设平面与交于点，求证：为的中点. 19．（12分）已知，. （1）当时，证明：； （2）设直线是函数在点处的切线，若直线也与相切，求正整数的值. 20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）. （1）求抛物线C的极坐标方程； （2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值. 21．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：.过点的直线：（为参数）与曲线相交于，两点. （1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若，求实数的值. 22．（10分）a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边.已知a＝3，，且B＝60°. （1）求△ABC的面积； （2）若D，E是BC边上的三等分点，求. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 以BC的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得，设，运用向量的坐标表示，求得点A的轨迹，进而得到关于a的二次函数，可得最小值． 【题目详解】 以BC的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系， 可得，设， 由， 可得，即， 则 ， 当时，的最小值为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题． 2、A 【答案解析】 由的解集，可知及，进而可求出方程的解，从而可求出的解集. 【题目详解】 由的解集为，可知且， 令，解得，， 因为，所以的解集为， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题. 3、A 【答案解析】 由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【题目详解】 双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r，即r＝. 答案：A 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题. 4、B 【答案解析】 先利用向量坐标运算求出向量,然后利用向量平行的条件判断即可. 【题目详解】 故选B 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位. 5、C 【答案解析】 如图所示：切点为，连接，作轴于，计算，，，，根据勾股定理计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：切点为，连接，作轴于， ，故， 在中，，故，故，， 根据勾股定理：，解得. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 6、A 【答案解析】 先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项. 【题目详解】 已知对于命题，由得，所以命题为假命题； 关于命题，函数， 当时，，当即时，取等号， 当时，函数没有最小值， 所以命题为假命题. 所以和是真命题， 所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题. 7、B 【答案解析】 解：当直线过点时，最大，故选B 8、C 【答案解析】 作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象知当直线过点时，取得最大值. 【题目详解】 解：作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部，如下图表示： 当目标函数经过点时，取得最大值，最大值为. 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识,属于中档题. 9、A 【答案解析】 根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【题目详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若有且仅有3个零点， 则等价为有且仅有3个根， 即与有三个不同的交点， 作出函数和的图象如图， 当a=1时，与有无数多个交点， 当直线经过点时，即，时，与有两个交点， 当直线经过点时，即时，与有三个交点， 要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间， 即， 故选：A． 【答案点睛】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 10、A 【答案解析】 分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望. 详解：根据题意有，如果交换一个球， 有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球， 红球的个数就会出现三种情况； 如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝， 对应的红球的个数就是五种情况，所以分析可以求得，故选A. 点睛：该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题，在解题的过程中，需要对其对应的事件弄明白，对应的概率会算，以及变量的可取值会分析是多少，利用期望公式求得结果. 11、A 【答案解析】 根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围. 【题目详解】 函数，， 由题意得， 即， 令， ∴， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，而， 当且仅当，即当时，等号成立， ∴， ∴. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题. 12、B 【答案解析】 由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率． 【题目详解】 由频率分布直方图得： 在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：， 行驶速度超过的频率为：． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据满足约束条件，画出可行域，将目标函数，转化为，平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点，此时，目标函数 取得最小值. 【题目详解】 由满足约束条件，画出可行域如图所示阴影部分： 将目标函数，转化为， 平移直线，找到直线在轴上截距最小时的点 此时，目标函数 取得最小值，最小值为 故答案为：-1 【答案点睛】 本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 14、 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合，再进行集合的交运算，即可得到答案. 【题目详解】 ，， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题. 15、 【答案解析】 因为单位向量的夹角为，所以，所以==. 16、2 【答案解析】 试题分析：，与的夹角等于与的夹角，所以 考点：向量的坐标运算与向量夹角 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）1；（2）见解析 【答案解析】 （1）设，，联立直线和抛物线方程，得，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求出； （2）由，得，根据导数的几何意义，求出抛物线在点点处切线方程，进而求出，即可证出轴. 【题目详解】 解：（1）设，， 将直线代入中整理得：， ∴，， ∴， 解得：. （2）同（1）假设，， 由，得， 从而抛物线在点点处的切线方程为， 即， 令，得，