2023年创新方案高考数学复习精编人教新课标37正弦定理和余弦定理doc高中数学.docx

第三章第七节正弦定理和余弦定理 题组一 正、余弦定理的简单应用 1.(2023·广东高考)△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.假设a＝c＝＋，且∠A＝75°，那么b＝ (　　) A．2 B．4＋2 C．4－2 D.－ 解析：如下列图． 在△ABC中，由正弦定理得 =4， ∴b=2. 答案：A 2．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，那么的值等于______，AC的取值范围为________． 解析：由正弦定理得＝. 即＝.∴＝2. ∵△ABC是锐角三角形， ∴0＜A＜，0＜2A＜，0＜π－3A＜，解得＜A＜. 由AC＝2cosA得AC的取值范围为(，)． 答案：2　(，) 3．(2023·全国卷Ⅰ)在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b. 解：由余弦定理得 a2－c2＝b2－2bccosA. 又a2－c2＝2b，b≠0，所以b＝2ccosA＋2.① 又sinAcosC＝3cosAsinC， sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC， sin(A＋C)＝4cosAsinC， sinB＝4sinCcosA. 由正弦定理得sinB＝sinC， 故b＝4ccosA.② 由①、②解得b＝4. 题组二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 4.(2023·天津模拟)在△ABC中，cos2＝，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，那么△ABC的形状为 (　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：∵cos2＝，∴＝，∴cosB＝， ∴＝， ∴a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形． 答案：B 5．在△ABC中，2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π， 即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)． 由2sinAcosB＝sinC， 得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB， 即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0. 又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B. 所以△ABC是等腰三角形． 法二：利用正弦定理和余弦定理 2sinAcosB＝sinC可化为 2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0， 即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形． 答案：B 题组三 三角形面积公式的应用 6.在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，那么△ABC的面积等于 (　　) A. B. C.或 D.或 解析：由正弦定理知＝，∴sinC＝＝， ∴C＝或，A＝或，∴S＝或. 答案：D 7．在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，那么cosA＝ (　　) A. B. C. D. 解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝2bc－2bccosA＝bcsinA，∴sinA＝4(1－cosA),16(1－cosA)2＋cos2A＝1，∴cosA＝. 答案：B 8．(2023·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3. (1)求△ABC的面积； (2)假设c＝1，求a的值． 解：(1)因为cos＝， 所以cosA＝2cos2－1＝，sinA＝. 又由·＝3，得bccosA＝3，所以bc＝5. 因此S△ABC＝bcsinA＝2. (2)由(1)知，bc＝5，又c＝1，所以b＝5， 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝20，所以a＝2. 题组四 正、余弦定理的综合应用 9.假设△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，那么BC边的长是 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：依题意及面积公式S＝bcsinA， 得10＝bcsin60°，得bc＝40. 又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a， 由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60° ＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7. 答案：C 10．(文)在三角形ABC中，∠B＝60°，最大边与最小边的比为，那么三角形的最大角为 (　　) A．60° B．75° C．90° D．115° 解析：不妨设a为最大边．由题意， ＝＝， 即＝， ∴＝， (3－)sinA＝(3＋)cosA， ∴tanA＝2＋，∴A＝75°. 答案：B (理)锐角△ABC中，假设A＝2B，那么的取值范围是 (　　) A．(1,2) B．(1，) C．(，2) D．(，) 解析：∵△ABC为锐角三角形，且A＝2B， ∴∴＜B＜， ∴sinA＝sin2B＝2sinBcosB， ＝＝2cosB∈(，)． 答案：D 11．a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)，假设m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，那么角B＝________. 解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0， ∴tanA＝，∴A＝. ∵acosB＋bcosA＝csinC， ∴sinAcosB＋sinBcosA＝sinCsinC， ∴sin(A＋B)＝sin2C，∴sinC＝sin2C，∵sinC≠0，∴sinC＝1. ∴C＝，∴B＝. 答案： 12．(文)(2023·长郡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，＜C＜且＝ (1)判断△ABC的性状； (2)假设|＋|＝2，求·的取值范围． 解：(1)由＝及正弦定理得sinB＝sin2C， ∴B＝2C，且B＋2C＝π， 假设B＝2C，＜C＜， ∴π＜B＜π，B＋C＞π(舍)； ∴B＋2C＝π，那么A＝C，∴△ABC为等腰三角形． (2)∵|＋|＝2，∴a2＋c2＋2ac·cosB＝4， ∴cosB＝(∵a＝c)， 而cosB＝－cos2C，＜C＜， ∴＜cosB＜1， ∴1＜a2＜， 又·＝accosB＝2－a2，∴·∈(，1)． (理)(2023·广州模拟)在△ABC中，A，B，C分别是三边a，b，c的对角．设m＝(cos，sin)，n＝(cos，－sin)，m，n的夹角为. (1)求C的大小； (2)c＝，三角形的面积S＝，求a＋b的值． 解：(1)m·n＝cos2－sin2＝cosC， 又m·n＝|m||n|cos＝， 故cosC＝，∵0＜C＜π，∴C＝. (2)S＝absinC＝absin＝ab， 又S＝，故ab＝，∴ab＝6. ∵c2＝a2＋b2－2abcosC，c＝， ∴＝a2＋b2－2ab×＝(a＋b)2－3ab. ∴(a＋b)2＝＋3ab＝＋18＝， ∴a＋b＝.