2023年高考第一轮复习第二章函数的概念和性质含单元检测题doc高中数学.docx

第二章 函 数 考点要求 （一）函数 1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。 2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数． 3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题．　 4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性． 5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值． 6．会运用函数图像理解和研究函数的性质． （二）指数函数 1．了解指数函数模型的实际背景． 2． 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题． 4． 知道指数函数是一类重要的函数模型． （三）对数函数 1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）． （四）幂函数 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数，，，，的图像，了解它们的变化情况． （五）函数与方程 1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数． （六）函数模型及其应用 1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用 3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题 第一节 函数的概念与表示 自主学习 1．映射的定义：设是两个非空集合，如果按照对应法那么，对于集合中的任意一个元素，在集合都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合到集合的映射，记作：． 2．一一映射：对于从集合到集合的映射，假设中的任意一个元素在中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的映射叫作从集合到集合的一一映射． 3．象与原象：对于给定的一个集合到集合的映射，且，元素与元素对应，那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象．设原象组成的集合为，那么有，设与原象对应的象组成的集合为，那么． 4．函数的概念：如果、都是非空的数集，那么从集合到集合的映射：叫做到的函数．原象的集合叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域． 5.函数的三要素：定义域；值域；对应法那么．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法那么唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的三要素均相同． 教材透析 知识点1 映射是特殊的对应，其特殊性在于，它只能是“一对一〞 或“多对一〞的对应．故判断一个对应是不是映射的方法是：首先检验集合中的每一个元素是否在集合中都有象，然后看集合中每一个元素的象是否唯一． 知识点2 函数是特殊的映射，其特殊性在于，集合和集合只能是非空数集．函数是映射，但是映射不一定是函数；函数不一定都有解析式． 知识点3 当且仅当两个函数的三要素均相同时，才是同一个函数． 知识点4 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；④指数式中，指数为零时，底数不能为零． 典例剖析 【题型1】求函数值 【例1】如果函数对任意都有，试求的值. 【解析】∵对任意，总有f， ∴当时应有， 即，∴. 又∵，∴， 故有得，∴. ∴ . 【点评】这是一个抽象函数的求值问题，关键是有一只条件确定的值，求出函数解析式． 【变式与拓展】 1. （2023年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，假设那么 . 【解析】由得，所以，那么． 【题型2】 求函数解析式 【例2】设是定义在上的函数，对一切均有，当时，，求当时，函数的解析式. 【解析】设，那么，又对任意的，有 ，∴， ∴， 又时，， ∴. 【变式与拓展】 2. 如果，求一次函数的解析式. 【解析】设，那么. 由于该函数与是同一个函数， ∴且，∴. 当时，； 当时，b=1+ ∴或. 【题型3】 分段函数 【例3】如右图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为. （1）求的面积与移动的路程间的函数关系式； （2）作出函数的图象，并根据图象求的最大值. 【解析】（1）这个函数的定义域为 . 当时，； 当时，； 当时，. ∴这个函数的解析式为 （2）其图形如下列图： 由图知，的最大值为 . 【点评】这是一个分段函数的球解析式问题，要注意在不同条件以下出对应的关系式，最后结果要写成分段函数的形式，注意自变量的取值范围． 【变式与拓展】 3. 函数|的图象是 【解析】函数化简得，所以选B. 能力训练 一、选择题 1．（2023湖北）设，那么的定义域为 （　B　） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是，那么实数a的取值范围是 （ B ） A.a＞ B. C. D. 3.（2022湖北）f（）=，那么f（x）的解析式可取为（　　） A. B. 　　C. D. 4.（2023江西）函数的定义域为 （ D ） A．　　　 B．　　　 C．　　　　D． 5.某种型号的 自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2022元降到1280元，那么这种 平均每次降价的百分率是 （ D ） A.10% B.15% C.18% D.20% 6．（2023年广东）函数的定义域是 ( B ) A. B. C. D. 二 填空题 7．函数y=的定义域为，值域为. 8．（2022浙江文）那么不等式的解集是. 9．（2023年辽宁）设，那么. 10.设函数f（x）=， 那么使得的x的取值范围是 . 三 解答题 11. ( 2023年重庆)定义域为的函数满足， （1）假设，求f(1)；又假设，求； （2）设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式. 【解析】（1）因为对任意，有，所以 ， 又由，得，即. 假设，那么，即 . （2）因为对任意，有， 又因为有且只有一个实数，使得， 所以对任意，有 在上式中令，有 又因为，所以，故或. 假设，那么，即. 但方程有两个不同实根，与题设条件矛质，故. 假设，那么有，即，易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为. 12.某市有小灵通与全球通两种 ，小灵通 的月租费为25元，接听 不收费，打出 一次在3 min以内收费0.2元，超过3 min的局部为每分钟收费0.1元，缺乏1 min按1 min计算（以下同）.全球通 月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.假设某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1 min以内、1到2 min以内、2到3 min以内、3到4 min以内的次数之比为. 问：根据他的通话次数应该选择什么样的 才能使费用最省？（注：m到m+1 min以内指含m min，而不含m+1 min） 【解析】设小灵通每月的费用为元，全球通的费用为元，分别在1 min以内、2 min以内、3 min以内、4 min以内的通话次数为4x、3x、x、x，那么 ， . 令，即，解得. ∴总次数为. 故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通. 第二节 函数的单调性 自主学习 1. 增函数、减函数的定义 一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值、，当时，都有（或都有），那么就说在这个区间上是增函数（或减函数）. 如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间.如函数是增函数那么称区间为增区间，如函数为减函数那么称区间为减区间. 2. 函数单调性可以从三个方面理解 （1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，那么称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，那么称函数在该区间上单调递减. （2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，那么称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，那么称函数在该区间上单调递减. （3）定量刻画，即定义. 上述三方面是我们研究函数单调性的根本途径. 3. 讨论复合函数单调性的根据：设，，，都是单调函数，那么在上也是单调函数. （1）假设是上的增函数，那么与的增减性相同； （2）假设是上的减函数，那么的增减性与的增减性相反. 4.判断函数单调性的方法：定义法，导数法，图像法，特殊值法（主要用于解选择题或填空题）. 5.函数单调性的应用：比较函数值的大小，求某些函数的值域，解证某些不等式，讨论根的分布等. 教材透析 1 判断函数单调性： （1）定义法：给定区间上的函数，假设对，且，都有 （或）那么称函数在上是增函数（或减函数）. 与定义等价的判断方法：，假设 （或），那么称函数在上是增函数. 2.导数法：给定区间上的函数，求其导数，对于，假设， 那么函数在上是增函数（或减函数. 3.函数的单调区间：函数的单调区间可能是连续的，也可能是分散的，分散的单调区间中间用“，〞分开，如的减区间，，不能写成. 4.函数的最值：函数的最值是是函数值域中的特殊值，故求函数最值的方法与求值域的方法差不多，要考虑取“=〞的条件是否满足. 典例剖析 【题型1】函数单调性的判断与证明 【例1】定义在上的函数，，当时，，且对任意的、，有. （1）求证：；　　　　　　 （2）求证：对任意的，恒有； （3）求证：是上的增函数； （4）假设，求x的取值范围. 【解析】（1）证明：令，那么，又，∴. （2）证明：当时，，∴， ∴f（－x）=，又时，， ∴时，恒有. （3）证明：设，那么， ∴. ∵，∴， 又，∴， ∴，∴是上的增函数. （4）解：由，，得，又是上的增函数，∴，∴. 【点评】解此题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“〞是证明单调性的关键，这里表达了向条件化归的策略. 【变式与拓展】 1. 设函数，求证：当且仅当时，在内为单调函数； 【解析】， ①当时，∵，∴， ②当时，由，得； 由得； ∴当时，在上为减函数，在上为增函数， ∴当时，在 上不是单调函数. 综上，当且反当时，在上为单调函数. 【题型2】 利用单调性讨论参数的范围 【例2】函数）的图象与函数的图象关于点对称. （1）求m的值； （2）假设在区间上为减函数，求实数a的取值范围. 【解析】（1）设为函数图象上一点，点关于的对称点为， 那么有，且. ∵点在上， ∴. 消去、代入，得， 整理，得，∴m=. （2）∵，设、，且， 那么对一切x1、x2∈（0，2］恒成立. ∴对一切、恒成立. ∴由，得． 【变式与拓展】 2 .（2022广东