2023学年浙江省宁波市重点中学高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的的值为，则输入的的值为（ ） A． B． C． D． 2．有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为cm，高度为cm，现往里面装直径为cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装（ ） （附：） A．个 B．个 C．个 D．个 3．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A． B． C． D． 4．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形为朱方，正方形为青方”，则在五边形内随机取一个点，此点取自朱方的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知命题：R，；命题 ：R，，则下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C． D． 7．若函数（）的图象过点，则（ ） A．函数的值域是 B．点是的一个对称中心 C．函数的最小正周期是 D．直线是的一条对称轴 8．双曲线的一条渐近线方程为，那么它的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．正三棱柱中，，是的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．抛物线的焦点为，则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个 12．执行如图所示的程序框图，若输入，，则输出的（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是______，体积是_____. 14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（—）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为__________． 15．设，则除以的余数是______. 16．（5分）如图是一个算法的流程图，若输出的值是，则输入的值为____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知抛物线：（）的焦点到点的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点、分别在第一和第二象限内，求的面积. 18．（12分）已知函数． （Ⅰ）求在点处的切线方程； （Ⅱ）求证：在上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数在上的零点个数． 19．（12分）已知实数x，y，z满足，证明：. 20．（12分）已知直线与椭圆恰有一个公共点，与圆相交于两点. （I）求与的关系式； （II）点与点关于坐标原点对称.若当时，的面积取到最大值，求椭圆的离心率. 21．（12分）已知变换将平面上的点，分别变换为点，．设变换对应的矩阵为． （1）求矩阵； （2）求矩阵的特征值． 22．（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为. (1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程； (2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求的值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据程序框图依次计算得到答案. 【题目详解】 ，；，；，； ，；，此时不满足，跳出循环， 输出结果为，由题意，得． 故选: 【答案点睛】 本题考查了程序框图的计算，意在考查学生的理解能力和计算能力. 2、C 【答案解析】 计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm，得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm，得到不等式，计算得到答案. 【题目详解】 由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切， 这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体， 易求正四面体相对棱的距离为cm，每装两个球称为“一层”，这样装层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为cm， 若想要盖上盖子，则需要满足，解得， 所以最多可以装层球，即最多可以装个球． 故选： 【答案点睛】 本题考查了圆柱和球的综合问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 3、A 【答案解析】 过圆外一点， 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为，故选． 4、C 【答案解析】 首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【题目详解】 因为正方形为朱方，其面积为9， 五边形的面积为， 所以此点取自朱方的概率为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于基础题. 5、D 【答案解析】 根据复数运算，求得，再求其对应点即可判断. 【题目详解】 ，故其对应点的坐标为. 其位于第四象限. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，以及复数对应点的坐标，属综合基础题. 6、B 【答案解析】 根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题 的真假，最后根据真值表，可得结果. 【题目详解】 对命题： 可知， 所以R， 故命题为假命题 命题 ： 取，可知 所以R， 故命题为真命题 所以为真命题 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题. 7、A 【答案解析】 根据函数的图像过点，求出，可得，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论. 【题目详解】 由函数（）的图象过点， 可得，即， ，， 故， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误； 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题. 8、D 【答案解析】 根据双曲线的一条渐近线方程为，列出方程，求出的值即可. 【题目详解】 ∵双曲线的一条渐近线方程为， 可得，∴， ∴双曲线的离心率. 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 9、C 【答案解析】 取中点，连接，，根据正棱柱的结构性质，得出//，则即为异面直线与所成角，求出，即可得出结果. 【题目详解】 解：如图，取中点，连接，， 由于正三棱柱，则底面， 而底面，所以， 由正三棱柱的性质可知，为等边三角形， 所以，且, 所以平面， 而平面，则， 则//，， ∴即为异面直线与所成角， 设，则，，， 则， ∴. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力. 10、C 【答案解析】 根据可得四边形为矩形, 设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可. 【题目详解】 设,,由,,知, 因为,在椭圆上,, 所以四边形为矩形,； 由,可得, 由椭圆的定义可得,①, 平方相减可得②, 由①②得； 令, 令, 所以, 即, 所以, 所以, 所以, 解得. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题. 11、B 【答案解析】 圆心在的中垂线上，经过点，且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，圆心在抛物线上，直线与抛物线交于2个点，得到2个圆． 【题目详解】 因为点在抛物线上， 又焦点，， 由抛物线的定义知，过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点， 这样的交点共有2个， 故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查抛物线的简单性质，本题解题的关键是求出圆心的位置，看出圆心必须在抛物线上，且在垂直平分线上． 12、C 【答案解析】 根据程序框图程序运算即可得. 【题目详解】 依程序运算可得： ， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了程序框图的计算，解题的关键是理解程序框图运行的过程. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、，. 【答案解析】 试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积， 体积，故填：，. 考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积. 14、2 【答案解析】 根据比赛场次，分析，画出图象，计算结果. 【题目详解】 画图所示，可知目前（五）班已经赛了2场． 故答案为：2 【答案点睛】 本题考查推理，计数原理的图形表示，意在考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型. 15、1 【答案解析】 利用二项式定理得到，将89写成1+88，然后再利用二项式定理展开即可. 【题目详解】 ，因展开式中 后面10项均有88这个因式，所以除以的余数为1. 故答案为：1 【答案点睛】 本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题. 16、或 【答案解析】 依题意，当时，由，即，解得；当时，由，解得或(舍去)．综上，得或． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）因为，可得，即可求得答案； （2）分别设、的斜率为和，切点，，可得过点的抛物线的切线方程为：，联立直线方程和抛物线方程，得到关于一元二次方程，根据，求得，，进而求得切点，坐标，根据两点间距离公式求得，根据点到直线距离公式求得点到切线的距离，进而求得的面积. 【题目详解】 （1）， ， 解得， 抛物线的方程为. （2）由题意可知，、的斜率都存在，分别设为和，切点， ， 过点的抛物线的切线：， 由,消掉, 可得， ，即， 解得，， 又由， 得， ，， 同理可得，， ，， ， 切线的方程为， 点到切线的距离为， ， 即的面积为. 【答案点睛】 本题主要考查了求抛物线方程和抛物线中三角形面积问题，解题关键是掌握抛物线定义和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式 18、（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数在有3个零点． 【答案解析】 （Ⅰ）求出导数，写出切线方程； （Ⅱ）二次求导，判断单调递减，结合零点存在性定理，判断即可； （Ⅲ），数形结合得出结论． 【题目详解】 解：（Ⅰ），，， 故在点，处的切线方