2023年丰台区高三一模数学理有答案2.docx

北京市丰台区 2023年高三年级第二学期统一练习（一） 数 学 试 题（理） 一、本大题共8小题，每题5分共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．如果为纯虚数，那么实数a等于 （ ） A．0 B．-1 C．1 D．-1或1 2．设集合，那么集合是 （ ） A．B． C． D． 3．假设那么的值是 （ ） A．84 B．-84 C．280 D．-280 4．奇函数上单调递增，假设那么不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 5．从0，2，4中取一个数字，从1，3，5中取两个数字，组成无重复数字的三位数，那么所有不同的三位数的个数是 （ ） A．36 B．48 C．52 D．54 6．在，的 （ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设那么 （ ） A．a+b有最大值8 B．a+b有最小值8 C．ab有最大值8 D．ab有最小值8 8．整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，那么第60个数对是 （ ） A．（10，1） B．（2，10） C．（5，7） D．（7，5） 二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，DE与AC交于点F，假设的面积是1cm2，那么的面积是 cm2. 10．假设一个正三棱柱的三视图及其尺寸如以下列图所示（单位：cm），那么该几何体的体积是 cm3. 11．样本容量为1000的频率分布直方图如下列图.根据样本的频率分布直方图计算，x的值为 ，样本数据落在内的频数为 . 12．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆C的参数方程为（参数），那么圆心到直线的距离是 . 13．在右边的程序框图中，假设输出i的值是4， 那么输入x的取值范围是 . 14．函数图象上点P处的切线与直线 围成的梯形面积等于S，那么S的最大 值等于 ，此时点P的坐标是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解容许写出文字说明， 演算步骤或证明过程. 15．（12分） 函数的图象经过点 （I）求实数a、b的值； （II）假设，求函数的最大值及此时x的值. 16．（13分） 如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点. （I）求证：BD⊥FG； （II）确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由. （III）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值. 17．（14分） 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响.师父加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为 （I）求徒弟加工2个零件都是精品的概率； （II）求徒弟加工该零件的精品数多于师父的概率； （III）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值E. 18．（13分） 函数 （I）当a<0时，求函数的单调区间； （II）假设函数f（x）在[1，e]上的最小值是求a的值. 19．（13分） 在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q. （I）求轨迹C的方程； （II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点. 20．（14分） 设集合W由满足以下两个条件的数列构成： ① ②存在实数M，使（n为正整数） （I）在只有5项的有限数列 ；试判断数列是否为集合W的元素； （II）设是各项为正的等比数列，是其前n项和，证明数列；并写出M的取值范围； （III）设数列且对满足条件的M的最小值M0，都有. 求证：数列单调递增. 参考答案 一、选择题（每题5分，共40分） BCAABCBC 二、填空题（每题5分，共30分） 9．4 10． 11．0.09,680 12． 13． 14． 三、解答题：（本大题共6小题，共80分） 15．（12分） 解：（I）∵函数的图象经过点， …………4分 解得： …………5分 （II）由（I）知： …………8分 …………9分 时， 取得最大值 …………12分 16．（13分） 证明：（I）面ABCD，四边形ABCD是正方形， 其对角线BD，AC交于点E， ∴PA⊥BD，AC⊥BD. ∴BD⊥平面APC， 平面PAC， ∴BD⊥FG …………7分 （II）当G为EC中点，即时， FG//平面PBD， …………9分 理由如下： 连接PE，由F为PC中点，G为EC中点，知FG//PE， 而FG平面PBD，PB平面PBD， 故FG//平面PBD. …………13分 （III）作BH⊥PC于H，连结DH， ∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形， ∴PB=PD， 又∵BC=DC，PC=PC， ∴△PCB≌△PCD， ∴DH⊥PC，且DH=BH， ∴∠BHD主是二面角B—PC—D的平面角， …………11分 即 ∵PA⊥面ABCD， ∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 …………12分 连结EH，那么 ∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 …………14分 解：以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下列图， 设正方形ABCD的边长为1，那么A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0） D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）, （I） …………5分 （II）要使FG//平面PBD，只需FG//EP， 而， 由可得，解得 …………7分 故当时，FG//平面PBD …………9分 设平面PBC的一个法向量为 那么，而 ，取z=1，得， 同理可得平面PBC的一个法向量 设所成的角为0， 那么 即 …………12分 ∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角， …………14分 17．（14分） 解：（I）设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1， 那么 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是 …………3分 （II）设徒弟加工零件的精品数多于师父的概率为p， 由（I）知， 师父加工两个零件中，精品个数的分布列如下： 0 1 2 P 徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下： 0 1 2 P 所以 …………9分 （III）的分布列为 0 1 2 3 4 P …………13分 的期望为 …………14分 18．（13分） 解：函数的定义域为 …………1分 …………3分 （1） 故函数在其定义域上是单调递增的. …………5分 （II）在[1，e]上，发如下情况讨论： ①当a<1时，函数单调递增， 其最小值为 这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾； …………6分 ②当a=1时，函数单调递增， 其最小值为 同样与最小值是相矛盾； …………7分 ③当时，函数上有，单调递减， 在上有单调递增，所以， 函数满足最小值为 由 …………9分 ④当a=e时，函数单调递减， 其最小值为还与最小值是相矛盾； …………10分 ⑤当a>e时，显然函数上单调递减， 其最小值为 仍与最小值是相矛盾； …………12分 综上所述，a的值为 …………13分 19．（13分） 解：（1）的距离之和是4， 的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为的椭圆， 其方程为 …………3分 （2）将，代入曲线C的方程， 整理得 …………5分 因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q， 所以① 设，那么 ② …………7分 且③ 显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A（-2，0）， 所以 由 将②、③代入上式，整理得 …………10分 所以 即经检验，都符合条件① 当b=2k时，直线的方程为 显然，此时直线经过定点（-2，0）点. 即直线经过点A，与题意不符. 当时，直线的方程为 显然，此时直线经过定点点，且不过点A. 综上，k与b的关系是： 且直线经过定点点 …………13分 20．（14分） 解：（I）对于数列， 取显然不满足集合W的条件，① 故不是集合W中的元素， …………2分 对于数列，当时， 不仅有 而且有， 显然满足集合W的条件①②， 故是集合W中的元素. …………4分 （II）是各项为正数的等比数列，是其前n项和， 设其公比为q>0， 整理得 …………7分 对于 且 故，且 …………9分 （III）证明：（反证）假设数列非单调递增，那么一定存在正整数k， 使，易证于任意的，都有，证明如下： 假设 当n=m+1时，由 而 所以 所以，对于任意的 显然这k项中有一定存在一个最大值，不妨记为； 所以与这题矛盾. 所以假设不成立， 故命题得证. …………14分