2023学年浙江省宁波市鄞州区诺丁汉大学附中高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．64种 2．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 4．如图所示的程序框图输出的是126，则①应为（ ） A． B． C． D． 5．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（ ） ①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是； ②若面，则与面所成角的正切值取值范围是； ③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为. A． B． C． D． 6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ） A．4π B．8π C． D． 7．由曲线围成的封闭图形的面积为（ ） A． B． C． D． 8．已知命题：，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 9．已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是( ) A． B．3 C． D． 11．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ） A． B． C． D． 12．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知复数对应的点位于第二象限，则实数的范围为______. 14．在数列中，，则数列的通项公式_____. 15．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元． 16．根据如图所示的伪代码，输出的值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设 （1）证明:当时，； （2）当时，求整数的最大值.（参考数据：，） 18．（12分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C1的普通方程为(x-1)2 +y2 =1，曲线C2的参数方程为（θ为参数）. （Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程： （Ⅱ）设射线θ=(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|的值． 19．（12分）设函数，， （Ⅰ）求曲线在点（1,0）处的切线方程； （Ⅱ）求函数在区间上的取值范围． 20．（12分）已知函数，. （1）若不等式的解集为，求的值. （2）若当时，，求的取值范围. 21．（12分）已知函数. （1）若函数，求的极值； （2）证明：. （参考数据： ） 22．（10分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点. （1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面 （2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，由分步计数原理计算可得答案． 【题目详解】 解：根据题意，分2步进行分析： ①，将4人分成3组，有种分法； ②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况， 将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有种情况， 此时有种情况， 则有种不同的安排方法； 故选：C． 【答案点睛】 本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题． 2、B 【答案解析】 利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【题目详解】 解：， 则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：， 位于第二象限. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 3、C 【答案解析】 设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程． 【题目详解】 若直线与曲线切于点，则， 又∵，∴，∴，解得，， ∴过点与曲线相切的直线方程为或， 故选C． 【答案点睛】 本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4、B 【答案解析】 试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 5、C 【答案解析】 ①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和． 【题目详解】 如图： ①错误， 因为 ，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为； ②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是； ③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号. 故选：. 【答案点睛】 本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题． 6、B 【答案解析】 由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【题目详解】 根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题. 7、A 【答案解析】 先计算出两个图像的交点分别为，再利用定积分算两个图形围成的面积. 【题目详解】 封闭图形的面积为.选A. 【答案点睛】 本题考察定积分的应用，属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取. 8、C 【答案解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【题目详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 9、B 【答案解析】 令，则，由图象分析可知在上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决. 【题目详解】 令，则，如图 与顶多只有3个不同交点，要使关于的方程有 六个不相等的实数根，则有两个不同的根， 设由根的分布可知， ，解得. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题. 10、D 【答案解析】 设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值. 【题目详解】 由题意，设点. ， 即， 整理得， 则，解得或. . 故选：. 【答案点睛】 本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题. 11、A 【答案解析】 设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【题目详解】 设所求切线的方程为，则， 联立，消去得①，由，解得， 方程①为，解得，则点， 所以，阴影部分区域的面积为， 矩形的面积为，因此，所求概率为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题. 12、A 【答案解析】 结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前项和公式和对数恒等式即可求解 【题目详解】 如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为，所以原数字塔中前10层所有数字之积为. 故选：A 【答案点睛】 本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前项和公式应用，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由复数对应的点，在第二象限，得，且，从而求出实数的范围． 【题目详解】 解：∵复数对应的点位于第二象限，∴，且， ∴， 故答案为：． 【答案点睛】 本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式，且 是解题的关键，属于基础题． 14、 【答案解析】 由题意可得，又，数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对分奇数和偶数两种情况，分别求出，从而得到数列的通项公式. 【题目详解】 解：∵， ∴①，②， ①﹣②得：，又∵， ∴数列的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当为奇数时，， 当为偶数时，则为奇数，∴， ∴数列的通项公式， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查求数列的通项公式，