2023学年济南市育英中学高三一诊考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A． B． C． D． 2．设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 3．某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( ) A．10 B．50 C．60 D．140 4．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 6．设m，n为直线，、为平面，则的一个充分条件可以是( ) A．，， B．， C．， D．， 7．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递增 C．函数的对称中心是 D．函数的对称轴是 8．过双曲线 的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点，若为线段的中点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 9．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上情况均有可能 11．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是( ) A．1 B．-3 C．1或 D．-3或 12．已知满足，，,则在上的投影为（　　　　） A． B． C． D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在中，角的对边分别为，且，若外接圆的半径为，则面积的最大值是______. 14．已知关于x的不等式（ax﹣a2﹣4）（x﹣4）＞0的解集为A，且A中共含有n个整数，则当n最小时实数a的值为_____． 15．若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 16．已知正方形边长为，空间中的动点满足，，则三棱锥体积的最大值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体 （1）求证： （2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值； （3）若平面底面，求六面体的体积的最大值. 18．（12分）设函数 . (I)求的最小正周期； (II)若且，求的值. 19．（12分）已知数列满足，且. （1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，， （Ⅰ）证明；AC⊥BP； （Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值． 21．（12分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）函数，若对于，使得成立，求的取值范围. 22．（10分）如图，内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，平面ABC，，． （1）求证：平面ACD； （2）设，表示三棱锥B-ACE的体积，求函数的解析式及最大值． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 试题分析：由于在等比数列中，由可得：， 又因为， 所以有：是方程的二实根，又，，所以， 故解得：，从而公比； 那么， 故选D． 考点：等比数列． 2、A 【答案解析】 设坐标，根据向量坐标运算表示出，从而可利用表示出；由坐标运算表示出，代入整理可得所求的轨迹方程. 【题目详解】 设，，其中， ，即 关于轴对称 故选： 【答案点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程. 3、C 【答案解析】 从频率分布直方图可知，用水量超过15m³的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.3×50=15户住户的用水量超过15立方米 所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C 4、C 【答案解析】 化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限． 【题目详解】 解：复数 故复数对应的坐标为位于第三象限 故选：． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题． 5、C 【答案解析】 建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值. 【题目详解】 以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系， 设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到， 可得到内切圆的半径为 可得到点的坐标为： 故得到 故得到 ， 故最大值为：2. 故答案为C. 【答案点睛】 这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法. 6、B 【答案解析】 根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【题目详解】 对于A选项，当，，时，由于不在平面内，故无法得出. 对于B选项，由于，，所以.故B选项正确. 对于C选项，当，时，可能含于平面，故无法得出. 对于D选项，当，时，无法得出. 综上所述，的一个充分条件是“，” 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题. 7、B 【答案解析】 根据图象求得函数的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可. 【题目详解】 由图象可得，函数的周期，所以. 将点代入中，得，解得，由，可得，所以. 令，得， 故函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递减，故A正确； 令，得， 故函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，故B错误； 令，得，故函数的对称中心是，故C正确； 令，得，故函数的对称轴是，故D正确. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 8、C 【答案解析】 由题意可得双曲线的渐近线的方程为. ∵为线段的中点， ∴，则为等腰三角形. ∴ 由双曲线的的渐近线的性质可得 ∴ ∴，即. ∴双曲线的离心率为 故选C. 点睛：本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质，考查了离心率的求解，同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用，对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)． 9、C 【答案解析】 根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率. 【题目详解】 由已知，，成等差数列，设，，. 由于，据勾股定理有，即，化简得； 由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以； 在直角中，由勾股定理，，∴离心率. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 10、B 【答案解析】 由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性，结合三角函数的性质即可比较． 【题目详解】 由可得，即函数的周期， 因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递增， 因为，是锐角三角形的两个内角， 所以且即， 所以即， ． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键． 11、D 【答案解析】 由题得，解方程即得k的值. 【题目详解】 由题得，解方程即得k=-3或. 故答案为：D 【答案点睛】 (1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 点到直线的距离. 12、A 【答案解析】 根据向量投影的定义，即可求解. 【题目详解】 在上的投影为. 故选:A 【答案点睛】 本题考查向量的投影，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结合范围可求的值，利用正弦定理可求的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解. 【题目详解】 解：， 由正弦定理可得：， ， ， 又，，，即，可得：， 外接圆的半径为， ，解得，由余弦定理，可得，又， （当且仅当时取等号），即最大值为4， 面积的最大值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题． 14、-1 【答案解析】 讨论三种情况，a＜0时,根据均值不等式得到a（﹣a）≤﹣14，计算等号成立的条件得到答案. 【题目详解】 已知关于x的不等式（ax﹣a1﹣4）（x﹣4）＞0， ①a＜0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＜0，其中a0， 故解集为（a，4）， 由于a（﹣a）≤﹣14， 当且仅当﹣a，即a＝﹣1时取等号， ∴a的最大值为﹣4，当且仅当a4时，A中共含有最少个整数，此时实数a的值为﹣1； ②a＝0时，﹣4（x﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a＝0不符合条件； ③a＞0时，[x﹣（a）]（x﹣4）＞0，其中a4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a，+∞），整数解有无穷多，故a＞0不符合条件； 综上所述，a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【答案点睛】 本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 15、 【答案解析】 由知x＞0，故. 令，则. 当时，；当时，. 所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减. 故，即. 16、 【答案解析】 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，设点，根据题中条件得出，进而可求出的最大值，由此能求出三棱锥体积的最大值. 【题目详解】 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，设点， 空间中的动点满足，， 所以，整理得， ， 当，时，取最大值， 所以，三棱锥的体积为. 因此，三棱锥体积的最大值为.