2023学年浙江省宁波市慈溪市高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若与线性相关，且，则实数（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一个焦点为，点是的一条渐近线上关于原点对称的两点，以为直径的圆过且交的左支于两点，若，的面积为8，则的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．已知全集，则集合的子集个数为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足,则在复平面上对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 7．已知数列满足,且,则的值是( ) A． B． C．4 D． 8．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知，则（ ） A． B． C． D． 10．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ） A．12个月的PMI值不低于50%的频率为 B．12个月的PMI值的平均值低于50% C．12个月的PMI值的众数为49.4% D．12个月的PMI值的中位数为50.3% 11．若时，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．已知集合，，则的真子集个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．平面区域的外接圆的方程是____________. 14．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，则取出球的编号互不相同的概率为_______________. 15．的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________（用数字作答）. 16．若且时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知；. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若为真命题且为假命题，求实数的取值范围. 18．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数)，直线的参数方程(为参数)，若直线的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线 （1）求曲线的普通方程； （2）以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点，求点的极径. 19．（12分）在三角形中，角，，的对边分别为，，，若. （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若，，求. 20．（12分）已知函数，． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．（12分）如图，为等腰直角三角形，，D为AC上一点，将沿BD折起，得到三棱锥，且使得在底面BCD的投影E在线段BC上，连接AE. （1）证明：； （2）若，求二面角的余弦值. 22．（10分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 求出，把坐标代入方程可求得． 【题目详解】 据题意，得，所以，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值． 2、B 【答案解析】 由双曲线的对称性可得即，又，从而可得的渐近线方程. 【题目详解】 设双曲线的另一个焦点为，由双曲线的对称性，四边形是矩形，所以，即，由，得：，所以，所以，所以，，所以，的渐近线方程为. 故选B 【答案点睛】 本题考查双曲线的简单几何性质，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想与计算能力，属于中档题. 3、C 【答案解析】 先求B.再求，求得则子集个数可求 【题目详解】 由题=, 则集合,故其子集个数为 故选C 【答案点睛】 此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 4、B 【答案解析】 由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解. 【题目详解】 ,所以离心率, 又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有, 而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即, 所以,所以双曲线的离心率的取值范围是. 故选:B 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用. 5、A 【答案解析】 设，由得：，由复数相等可得的值，进而求出，即可得解. 【题目详解】 设，由得：，即， 由复数相等可得：，解之得：，则，所以，在复平面对应的点的坐标为，在第一象限. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查共轭复数的求法，考查对复数相等的理解，考查复数在复平面对应的点，考查运算能力，属于常考题. 6、C 【答案解析】 分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【题目详解】 由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是； 仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 7、B 【答案解析】 由，可得，所以数列是公比为的等比数列， 所以，则， 则，故选B. 点睛：本题考查了等比数列的概念，等比数列的通项公式及等比数列的性质的应用，试题有一定的技巧，属于中档试题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，等比数列的性质和在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 8、A 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【题目详解】 当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立， 若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立， 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 9、C 【答案解析】 利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案. 【题目详解】 由可得，∴， ∴. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号. 10、D 【答案解析】 根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【题目详解】 对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确； 对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确； 对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，； 对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误 故选：D. 【答案点睛】 本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题. 11、D 【答案解析】 由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围. 【题目详解】 由题得对恒成立， 令， 在单调递减，且， 在上单调递增，在上单调递减， ， 又在单调递增，， 的取值范围为. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解. 12、C 【答案解析】 求出的元素，再确定其真子集个数． 【题目详解】 由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 作出平面区域，可知平面区域为三角形，求出三角形的三个顶点坐标，设三角形的外接圆方程为，将三角形三个顶点坐标代入圆的一般方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【题目详解】 作出不等式组所表示的平面区域如下图所示： 由图可知，平面区域为，联立，解得，则点， 同理可得点、， 设的外接圆方程为， 由题意可得，解得，，， 因此，所求圆的方程为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三角形外接圆方程的求解，同时也考查了一元二次不等式组所表示的平面区域的求作，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中等题. 14、 【答案解析】 试题分析：从编号分别为1，1，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中随机取出4个，有种不同的结果，由于是随机取出的，所以每个结果出现的可能性是相等的；设事件为“取出球的编号互不相同”， 则事件包含了个基本事件，所以. 考点：1.计数原理；1．古典概型. 15、5670 【答案解析】 根据二项式展开的通项，可得二项式系数的最大项，可求得其系数. 【题目详解】 二项展开式一共有项，所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项，系数为. 故答案为：5670 【答案点睛】 本题考查了二项式定理展开式的应用，由通项公式求二项式系数，属于中档题. 16、 【答案解析】 将不等式两边同时平方进行变形，然后得到对应不等式组，对的取值进行分类，将问题转化为二次函数在区间上恒正、恒负时求参数范围，列出对应不等式组，即可求解出的取值范围. 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以，所以或， 当时，对且不成立， 当时，取，显然不满足，所以， 所以，解得； 当时，取，显然不满足，所以， 所以，解得， 综上可得的取值范围是：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据不等式恒成立求解参数范围，难度较难.根据不等式恒成立求解参数范围的两种常用方法：（1）分类讨论法：分析参数的临界值，对参数分