2023学年浙江台州市书生中学高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知无穷等比数列的公比为2，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 3．已知的展开式中的常数项为8，则实数（ ） A．2 B．-2 C．-3 D．3 4．已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是　　 A．关于直线对称 B．关于点对称 C．周期为 D．在上是增函数 5．设，则，则（ ） A． B． C． D． 6．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ） A．10 B．32 C．40 D．80 7．已知，则下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 8．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ） A． B． C． D． 9．已知集合，B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}，则A∪B＝（ ） A．{﹣1，0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x﹣1≤x≤2} 10．若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ） A． B．2 C． D．1 11．已知变量的几组取值如下表： 1 2 3 4 7 若与线性相关，且，则实数（ ） A． B． C． D． 12．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第天长高尺，芜草第天长高尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（ ） （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：，） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．直线（，）过圆：的圆心，则的最小值是______. 14．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 15．设、、、、是表面积为的球的球面上五点，四边形为正方形，则四棱锥体积的最大值为__________. 16．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，，（且），则__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知椭圆：的离心率为，右焦点为抛物线的焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，过作两条射线，分别交椭圆于、两点，若、斜率之积为，求证：的面积为定值. 18．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程. 19．（12分）已知，函数，（是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且命题“，”是假命题，求实数的取值范围. 20．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点. （1）求的值及该圆的方程； （2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：. 21．（12分）已知函数，，.函数的导函数在上存在零点. 求实数的取值范围； 若存在实数，当时，函数在时取得最大值，求正实数的最大值； 若直线与曲线和都相切，且在轴上的截距为，求实数的值. 22．（10分）已知函数，为的导数，函数在处取得最小值． （1）求证：； （2）若时，恒成立，求的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 依据无穷等比数列求和公式，先求出首项，再求出，利用无穷等比数列求和公式即可求出结果。 【题目详解】 因为无穷等比数列的公比为2，则无穷等比数列的公比为。 由有，，解得，所以， ，故选A。 【答案点睛】 本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用。 2、B 【答案解析】 由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【题目详解】 依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是. 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 3、A 【答案解析】 先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为 展开式的常数项，从而求出的值. 【题目详解】 展开式的通项为， 当取2时，常数项为， 当取时，常数项为 由题知，则. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题. 4、D 【答案解析】 当时,,∴f(x)不关于直线对称； 当时, ,∴f(x)关于点对称； f(x)得周期， 当时, ,∴f(x)在上是增函数． 本题选择D选项. 5、A 【答案解析】 根据换底公式可得，再化简，比较的大小，即得答案. 【题目详解】 ， ， . ，显然. ,即， ，即. 综上，. 故选：. 【答案点睛】 本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题. 6、D 【答案解析】 根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果. 【题目详解】 由题可知： 当时，常数项为 又展开式的二项式系数和为 由 所以 当时， 所以项系数为 故选：D 【答案点睛】 本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题. 7、A 【答案解析】 首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可. 【题目详解】 因为，，，所以，综上可得. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 8、B 【答案解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B. 9、A 【答案解析】 解出集合A和B即可求得两个集合的并集. 【题目详解】 ∵集合{x∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}， B＝{y∈N|y＝x﹣1，x∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}． 故选：A． 【答案点睛】 此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 10、C 【答案解析】 根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解. 【题目详解】 双曲线的离心率， 则，，解得，所以焦点坐标为， 所以， 则双曲线渐近线方程为，即， 不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题. 11、B 【答案解析】 求出，把坐标代入方程可求得． 【题目详解】 据题意，得，所以，所以． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值． 12、C 【答案解析】 由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得：，解出即可得出． 【题目详解】 由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为 据题意得：， 解得2n＝12， ∴n21． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、； 【答案解析】 求出圆心坐标，代入直线方程得的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【题目详解】 圆：的标准方程为，圆心为， 由题意，即， ∴，当且仅当 ，即时等号成立， 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”． 14、 【答案解析】 由题意得出展开式中共有11项，；再令求得展开式中各项的系数和． 【题目详解】 由的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以； 令，可求得展开式中各项的系数和是： ． 故答案为：1． 【答案点睛】 本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题. 15、 【答案解析】 根据球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，求得四棱锥的表达式，利用基本不等式求得体积的最大值. 【题目详解】 由已知可得球的半径，设球心到四棱锥底面的距离为，棱锥的高为，底面边长为，的体积 ，当且仅当时等号成立. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查球的表面积有关计算，考查球的内接四棱锥体积的最值的求法，属于中档题. 16、 【答案解析】 利用等比数列的性质求得，进而求得，再利用对数运算求得的值. 【题目详解】 由于，，所以，则，∴，，. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析 【答案解析】 （1）由条件可得，再根据离心率可求得，则可得椭圆方程； （2）当与轴垂直时，设直线的方程为：，与椭圆联立求得的坐标，通过、斜率之积为列方程可得的值，进而可得的面积；当与轴不垂直时，设，，的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和、斜率之积为可得，再利用弦长公式求出，以及到的距离，通过三角形的面积公式求解. 【题目详解】 （1）抛物线的焦点为， ， ，， ，， 椭圆方程为； （2）（ⅰ）当与轴垂直时，设直线的方程为： 代入得：，， ， 解得：， ； （ⅱ）当与轴不垂直时，设，，的方程为 由， 由① ， ， ， 即 整理得： 代入①得： 到的距离 综上：为定值. 【答案点睛】 本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题. 18、（1）；（2）或. 【答案解析】 （1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程. 【题目详解】 （