2023学年浙江省余姚市余姚中学高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ） A．3 B． C． D． 3．直线l过抛物线的焦点且与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 A．10 B．9 C．8 D．7 4．的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 5．设，，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是虚数单位，若，，则实数（ ） A．或 B．-1或1 C．1 D． 7．已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据： ） A．48 B．36 C．24 D．12 10．已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 11．设，集合，则（　　） A． B． C． D． 12．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．不等式的解集为________ 14．一个村子里一共有个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余个村民中随机挑选的，当谣言传播次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是_______． 15．，则f（f（2））的值为____________． 16．若函数恒成立,则实数的取值范围是_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求. 18．（12分）设函数. (Ⅰ)当时，求不等式的解集； (Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围. 19．（12分）在极坐标系中，已知曲线，． （1）求曲线、的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； （2）若曲线、交于、两点，求两交点间的距离． 20．（12分）在直角坐标系中，点的坐标为，直线的参数方程为（为参数，为常数，且）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.设点在圆外. （1）求的取值范围. （2）设直线与圆相交于两点，若，求的值. 21．（12分）已知函数. （Ⅰ）当时，求函数在上的值域； （Ⅱ）若函数在上单调递减，求实数的取值范围. 22．（10分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案. 【题目详解】 不妨设在第一象限，故，，即， 即，解得，（舍去）. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 2、D 【答案解析】 由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果. 【题目详解】 由双曲线方程可知：，渐近线方程为：， 一条渐近线的倾斜角为，，解得：. 故选：. 【答案点睛】 本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求. 3、B 【答案解析】 根据抛物线中过焦点的两段线段关系，可得；再由基本不等式可求得的最小值． 【题目详解】 由抛物线标准方程可知p=2 因为直线l过抛物线的焦点，由过抛物线焦点的弦的性质可知 所以 因为 为线段长度，都大于0，由基本不等式可知 ，此时 所以选B 【答案点睛】 本题考查了抛物线的基本性质及其简单应用，基本不等式的用法，属于中档题． 4、C 【答案解析】 由题意，根据二项式定理展开式的通项公式，得展开式的通项为，则展开式的通项为，由，得，所以所求的系数为.故选C. 点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求出，将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解. 5、A 【答案解析】 根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【题目详解】 若， ，则，可得； 若，可得，无法得到， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【答案点睛】 本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是： ① 若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ② 若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③ 若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④ 若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系. 6、B 【答案解析】 由题意得，，然后求解即可 【题目详解】 ∵，∴.又∵，∴，∴. 【答案点睛】 本题考查复数的运算，属于基础题 7、B 【答案解析】 根据题意计算，，，解不等式得到答案. 【题目详解】 ∵是以1为首项，2为公差的等差数列，∴. ∵是以1为首项，2为公比的等比数列，∴. ∴ . ∵，∴，解得.则当时，的最大值是9. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等差数列，等比数列，f分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 8、B 【答案解析】 分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【题目详解】 可能的取值为；可能的取值为， ，，， 故，. ，， 故，, 故，.故选B. 【答案点睛】 离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 9、C 【答案解析】 由开始，按照框图，依次求出s，进行判断。 【题目详解】 ，故选C. 【答案点睛】 框图问题，依据框图结构，依次准确求出数值，进行判断，是解题关键。 10、C 【答案解析】 根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解. 【题目详解】 因为平面向量，满足，且， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以与的夹角为. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题. 11、B 【答案解析】 先化简集合A,再求. 【题目详解】 由 得： ，所以 ，因此 ，故答案为B 【答案点睛】 本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力. 12、C 【答案解析】 由题意知：，，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案. 【题目详解】 解：由题意知：，，设，则 在中，列勾股方程得：，解得 所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 故选C. 【答案点睛】 本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 通过平方，将无理不等式化为有理不等式求解即可。 【题目详解】 由得，解得， 所以解集是。 【答案点睛】 本题主要考查无理不等式的解法。 14、 【答案解析】 利用相互独立事件概率的乘法公式即可求解. 【题目详解】 第1次传播，谣言一定不会回到最初的人； 从第2次传播开始，每1次谣言传播，第一个制造谣言的人被选中的概率都是， 没有被选中的概率是． 次传播是相互独立的，故为 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了相互独立事件概率的乘法公式，考查了考生的分析能力，属于基础题. 15、1 【答案解析】 先求f（1），再根据f（1）值所在区间求f（f（1））. 【题目详解】 由题意，f（1）=log3（11–1）=1，故f（f（1））=f（1）=1×e1–1=1，故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力. 16、 【答案解析】 若函数恒成立，即，求导得，在三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的，解关于的不等式，再取并集，即得。 【题目详解】 由题意得,只要即可， ， 当时，令解得， 令，解得，单调递减， 令，解得，单调递增， 故在时，有最小值，， 若恒成立， 则，解得； 当时，恒成立; 当时，，单调递增，,不合题意,舍去. 综上,实数的取值范围是. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查恒成立条件下，求参数的取值范围，是常考题型。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为（2） 【答案解析】 （1）利用消去参数，将曲线的参数方程化成普通方程，利用互化公式， 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）根据（1）求出曲线的极坐标方程，分别联立射线与曲线以及射线与直线的极坐标方程，求出和，即可求出. 【题目详解】 解：（1）因为（为参数），所以消去参数，得， 所以曲线的普通方程为. 因为所以直线的直角坐标方程为. （2）曲线的极坐标方程为. 设的极径分别为和， 将（）代入，解得， 将（）代入，解得. 故. 【答案点睛】 本题考查利用消参法将参数方程化成普通方程以及利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，还考查极径的运用和两点间距离，属于中档题. 18