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2023
学年
泰州
中学
第二次
联考
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是( )
A.
B.
C.
D.
2.根据最小二乘法由一组样本点(其中),求得的回归方程是,则下列说法正确的是( )
A.至少有一个样本点落在回归直线上
B.若所有样本点都在回归直线上,则变量同的相关系数为1
C.对所有的解释变量(),的值一定与有误差
D.若回归直线的斜率,则变量x与y正相关
3.设复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为,则斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.给出下列三个命题:
①“”的否定;
②在中,“”是“”的充要条件;
③将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在声学中,声强级(单位:)由公式给出,其中为声强(单位:).,,那么( )
A. B. C. D.
8.已知直四棱柱的所有棱长相等,,则直线与平面所成角的正切值等于( )
A. B. C. D.
9.已知i为虚数单位,则( )
A. B. C. D.
10.要得到函数的图象,只需将函数图象上所有点的横坐标( )
A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度
B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度
C.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位长度
D.缩短到原来的倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度
11.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
12.函数图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,,是的角平分线,设,则实数的取值范围是__________.
14.在的二项展开式中,所有项的系数之和为1024,则展开式常数项的值等于_______.
15.直线xsinα+y+2=0的倾斜角的取值范围是________________.
16.已知椭圆:的左、右焦点分别为,,如图是过且垂直于长轴的弦,则的内切圆方程是________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点,.
(1)当时,求的面积;
(2)设直线与椭圆的另一个交点为,当为中点时,求的值.
18.(12分)甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛,每人回答一个问题,答对得10分,答错得0分,假设甲班三名同学答对的概率都是,乙班三名同学答对的概率分别是,,,且这六名同学答题正确与否相互之间没有影响.
(1)记“甲、乙两班总得分之和是60分”为事件,求事件发生的概率;
(2)用表示甲班总得分,求随机变量的概率分布和数学期望.
19.(12分)已知函数的定义域为,且满足,当时,有,且.
(1)求不等式的解集;
(2)对任意,恒成立,求实数的取值范围.
20.(12分)如图,点为圆:上一动点,过点分别作轴,轴的垂线,垂足分别为,,连接延长至点,使得,点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)若点,分别位于轴与轴的正半轴上,直线与曲线相交于,两点,且,试问在曲线上是否存在点,使得四边形为平行四边形,若存在,求出直线方程;若不存在,说明理由.
21.(12分)已知函数.
(1)若曲线的切线方程为,求实数的值;
(2)若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.
22.(10分)已知点、分别在轴、轴上运动,,.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点,,求的取值范围.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【答案解析】
根据计算结果,可知该循环结构循环了5次;输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,进而可得判断框内的不等式.
【题目详解】
因为该程序图是计算值的一个程序框圈
所以共循环了5次
所以输出S前循环体的n的值为12,k的值为6,
即判断框内的不等式应为或
所以选C
【答案点睛】
本题考查了程序框图的简单应用,根据结果填写判断框,属于基础题.
2、D
【答案解析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【题目详解】
回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误;
所有样本点都在回归直线上,则变量间的相关系数为,故B错误;
若所有的样本点都在回归直线上,则的值与相等,故C错误;
相关系数r与符号相同,若回归直线的斜率,则,样本点分布应从左到右是上升的,则变量x与y正相关,故D正确.
故选D.
【答案点睛】
本题主要考查线性回归方程的性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3、D
【答案解析】
先把变形为,然后利用复数代数形式的乘除运算化简,求出,得到其坐标可得答案.
【题目详解】
解:由,得,
所以,其在复平面内对应的点为,在第四象限
故选:D
【答案点睛】
此题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.
4、C
【答案解析】
设,,,,设直线的方程为:,与抛物线方程联立,由△得,利用韦达定理结合已知条件得,,代入上式即可求出的取值范围.
【题目详解】
设直线的方程为:, ,,,,
联立方程,消去得:,
△,
,
且,,
,
线段的中点为,,
,,
,,
,
,
把 代入,得,
,
,
故选:
【答案点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,考查了韦达定理的应用,属于中档题.
5、C
【答案解析】
结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.
【题目详解】
对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;
对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;
对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题.
故假命题有①③.
故选:C
【答案点睛】
本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.
6、C
【答案解析】
如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C.
考点:外接球表面积和椎体的体积.
7、D
【答案解析】
由得,分别算出和的值,从而得到的值.
【题目详解】
∵,
∴,
∴,
当时,,∴,
当时,,∴,
∴,
故选:D.
【答案点睛】
本小题主要考查对数运算,属于基础题.
8、D
【答案解析】
以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,
建立空间直角坐标系.求解平面的法向量,利用线面角的向量公式即得解.
【题目详解】
如图所示的直四棱柱,,取中点,
以为坐标原点,所在直线为x轴,所在直线为轴,所在直线为轴,
建立空间直角坐标系.
设,则,
.
设平面的法向量为,
则取,
得.
设直线与平面所成角为,
则,
,
∴直线与平面所成角的正切值等于
故选:D
【答案点睛】
本题考查了向量法求解线面角,考查了学生空间想象,逻辑推理,数学运算的能力,属于中档题.
9、A
【答案解析】
根据复数乘除运算法则,即可求解.
【题目详解】
.
故选:A.
【答案点睛】
本题考查复数代数运算,属于基础题题.
10、B
【答案解析】
分析:根据三角函数的图象关系进行判断即可.
详解:将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到
再将得到的图象向左平移个单位长度得到
故选B.
点睛:本题主要考查三角函数的图象变换,结合和的关系是解决本题的关键.
11、B
【答案解析】
求出在的解析式,作出函数图象,数形结合即可得到答案.
【题目详解】
当时,,,
,又,所以至少小于7,此时,
令,得,解得或,结合图象,故.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查不等式恒成立求参数的范围,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.
12、B
【答案解析】
判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.
【题目详解】
解:因为,
所以,
所以函数是奇函数,可排除A、C;
又当,,可排除D;
故选:B.
【答案点睛】
本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、
【答案解析】
设,,,由,用面积公式表示面积可得到,利用,即得解.
【题目详解】
设,,,
由得:
,
化简得,
由于,
故.
故答案为:
【答案点睛】
本题考查了解三角形综合,考查了学生转化划归,综合分析,数学运算能力,属于中档题.
14、
【答案解析】
利用展开式所有项系数的和得n=5,再利用二项式展开式的通项公式,求得展开式中的常数项.
【题目详解】
因为的二项展开式中,所有项的系数之和为4n=1024, n=5,
故的展开式的通项公式为Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常数项为T5=C·3=15,故填15.
【答案点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用、二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,属于中档题.
15、
【答案解析】
因为sin α∈[-1,1],
所以-sin α∈[-1,1],
所以已知直线的斜率范围为[-1,1],由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是.
答案:
16、
【答案解析】
利用公式计算出,其中为的周长,为内切圆半径,再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标.
【题目详解】
由已知,,,,设内切圆的圆心为,半径为,则
,故有,
解得,由,或(舍),所以的内切圆方程为
.
故答案为:.
【答案点睛】
本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题,涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识,考查学生的运算能力,是一道中档题.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、(1);(2)或
【答案解析】
(1)联立直线的方程和椭圆方程,求得交点的横坐标,由此求得三角形的面积.
(2)法一:根据的坐标求得的坐标,将的坐标都代入椭圆方程,化简后求得的坐标,进而求得的值.
法二:设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆的方程,化简后写出根与系数关系,结合求得点的坐标,进而求得的值.
【题目详解】
(1)设,,
若,则直线的方程为,
由,得,
解得,,
设直线与轴交于点,则且
.
(2)法