2023学年浙江省东阳中学高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．设，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 5．已知x,y满足不等式组,则点所在区域的面积是( ) A．1 B．2 C． D． 6．函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1） 7．已知集合，定义集合，则等于（ ） A． B． C． D． 8．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A． B．1 C． D． 9．的展开式中的项的系数为（ ） A．120 B．80 C．60 D．40 10．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( ) A． B． C． D． 11．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 12．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设为偶函数，且当时，；当时，．关于函数的零点，有下列三个命题： ①当时，存在实数m，使函数恰有5个不同的零点； ②若，函数的零点不超过4个，则； ③对，，函数恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列． 其中，正确命题的序号是_______． 14．如图是某几何体的三视图，俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直，则该几何体的体积为________. 15．设是公差不为0的等差数列的前n项和，且，则______. 16．在中，，．若，则 _________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，设、、分别为角、、的对边，记的面积为，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的值． 18．（12分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点． （1）证明：平面； （2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积． 19．（12分）在中， 角，，的对边分别为， 其中， . （1）求角的值； （2）若，，为边上的任意一点，求的最小值. 20．（12分）已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点. （I）求椭圆C的方程； （II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标. 21．（12分）已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）当时，求函数的极值； （2）设函数的导函数为，求证：函数有且仅有一个零点． 22．（10分）已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 如图所示，设依次构成等差数列，其公差为. 根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，. 在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D． 2、D 【答案解析】 因为，， 所以且在上单调递减，且 所以，所以， 又因为，，所以， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小，难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小，还可以根据中间值“”比较大小. 3、D 【答案解析】 先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解. 【题目详解】 设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为， 由题意，球的体积为，即可得球的半径为1， 又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为， 利用球的性质可得， 又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为， 所以球心到底面的距离为. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 4、A 【答案解析】 将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【题目详解】 圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 5、C 【答案解析】 画出不等式表示的平面区域，计算面积即可. 【题目详解】 不等式表示的平面区域如图： 直线的斜率为，直线的斜率为，所以两直线垂直，故为直角三角形，易得，，，，所以阴影部分面积. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查不等式组表示的平面区域面积的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于常考题. 6、B 【答案解析】 根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。 【题目详解】 根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称， 若函数在上单调递减，则在上递增， 所以要使，则有，变形可得， 解可得：或，即的取值范围为； 故选：B． 【答案点睛】 本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。 7、C 【答案解析】 根据定义，求出，即可求出结论. 【题目详解】 因为集合，所以， 则，所以. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查集合的新定义运算，理解新定义是解题的关键，属于基础题. 8、C 【答案解析】 该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积．故选. 9、A 【答案解析】 化简得到，再利用二项式定理展开得到答案. 【题目详解】 展开式中的项为. 故选： 【答案点睛】 本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力. 10、B 【答案解析】 首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合， 那么，利用的最小正周期为，从而求得结果. 【题目详解】 的最小正周期为， 那么(∈)， 于是， 于是当时，最小值为， 故选B. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 11、D 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项. 【题目详解】 因为集合 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，属于基础题. 12、A 【答案解析】 设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可. 【题目详解】 设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上 的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为 . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、①②③ 【答案解析】 根据偶函数的图象关于轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【题目详解】 解：当时又因为为偶函数 可画出的图象，如下所示： 可知当时有5个不同的零点；故①正确； 若，函数的零点不超过4个， 即，与的交点不超过4个， 时恒成立 又当时， 在上恒成立 在上恒成立 由于偶函数的图象，如下所示： 直线与图象的公共点不超过个，则，故②正确； 对，偶函数的图象，如下所示： ，使得直线与恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确． 故答案为：①②③ 【答案点睛】 本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 14、20 【答案解析】 由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合，利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可. 【题目详解】 由三视图知，该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆 柱组合而成，其体积为. 故答案为：20. 【答案点睛】 本题考查三视图以及几何体体积，考查学生空间想象能力以及数学运算能力，是一道容易题. 15、18 【答案解析】 将已知已知转化为的形式，化简后求得，利用等差数列前公式化简，由此求得表达式的值. 【题目详解】 因为，所以. 故填：. 【答案点睛】 本题考查等差数列基本量的计算，考查等差数列的性质以及求和，考查运算求解能力，属于基础题. 16、 【答案解析】 分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果. 详解：根据题意，设，则，根据， 得，由勾股定理可得， 根据余弦定理可得， 化简整理得，即，解得， 所以，故答案是. 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2） 【答案解析】 （1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得，结合范围，可求，进而可求的值． （2）利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的正弦函数公式可求的值，由正弦定理可求得的值． 【题目详解】 解：（1）由，得， 因为， 所以， 可得：． （2）中，， 所以. 所以：， 由正弦定理，得，解得， 【答案点睛】 本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 18、（1）见解析（2） 【答案解析】 （1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行； （2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离即为点到平面的距离，由平面几何知识易得最大值，然后可计算体积． 【题目详解】 （1）证明：连接与交于，连接， 因为是菱形，所以为的中点， 又因为为的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面． （2）解：取中点，连接， 因为四边形是菱形，，且， 所以，又， 所以平面，又平面， 所以． 同理可证：，又， 所以平面， 所以平面平面， 又平面平面， 所以点到直线的距离即为点到平面的距离， 过作直线的垂线