2023学年浙南名校高三下第一次测试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则中元素的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 3．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 5．已知是的共轭复数,则（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ） A． B． C． D． 8．给出以下四个命题： ①依次首尾相接的四条线段必共面； ②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； ③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等； ④垂直于同一直线的两条直线必平行. 其中正确命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．已知集合,则（ ） A． B． C． D． 10．设曲线在点处的切线方程为，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 12．在中，D为的中点，E为上靠近点B的三等分点，且，相交于点P，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是_____． 14．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________． 15．已知的终边过点，若，则__________． 16．四边形中，，，，，则的最小值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，. （1）求函数的极值； （2）当时，求证：. 18．（12分）已知数列{an}满足条件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn＝，Sn为数列{bn}的前n项和，求证：Sn． 19．（12分）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，点在抛物线上，直线与抛物线交于另一点. （1）设直线，的斜率分别为，，求证：常数； （2）①设的内切圆圆心为的半径为，试用表示点的横坐标； ②当的内切圆的面积为时，求直线的方程. 20．（12分）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，是棱的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值. 21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sinq. （1）求曲线C的普通方程； （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标. 22．（10分）已知非零实数满足． （1）求证：； （2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围； 若不存在，请说明理由 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数. 【题目详解】 由题可知：集合表示半圆上的点，集合表示直线上的点， 联立与， 可得，整理得， 即， 当时，，不满足题意； 故方程组有唯一的解. 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查集合交集的求解，涉及圆和直线的位置关系的判断，属基础题. 2、D 【答案解析】 先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【题目详解】 由，，可得或， 又 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 3、C 【答案解析】 令圆的半径为1，则，故选C． 4、A 【答案解析】 由余弦公式的二倍角可得，，再由诱导公式有 ，所以 【题目详解】 ∵ ∴由余弦公式的二倍角展开式有 又∵ ∴ 故选：A 【答案点睛】 本题考查了学生对二倍角公式的应用，要求学生熟练掌握三角函数中的诱导公式，属于简单题 5、A 【答案解析】 先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b． 【题目详解】 i， ∴a+bi＝﹣i， ∴a＝0，b＝﹣1， ∴a+b＝﹣1， 故选：A． 【答案点睛】 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 6、A 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合的表示，求解函数的定义域化简集合的表示，根据可以得到集合、之间的关系，结合数轴进行求解即可. 【题目详解】 ，. 因为，所以有，因此有. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力. 7、B 【答案解析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【题目详解】 令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 8、B 【答案解析】 用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断. 【题目详解】 ①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误. ②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确. ③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补，故③错误. ④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误. 故选：B 【答案点睛】 本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想. 9、B 【答案解析】 计算，再计算交集得到答案 【题目详解】 ,表示偶数， 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力. 10、D 【答案解析】 利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解 【题目详解】 因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即. 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题 11、D 【答案解析】 根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果. 【题目详解】 关于直线对称的直线方程为： 原题等价于与有且仅有四个不同的交点 由可知，直线恒过点 当时， 在上单调递减；在上单调递增 由此可得图象如下图所示： 其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为 由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点 设，，则，解得： 设，，则，解得： ，则 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解. 12、B 【答案解析】 设，则，， 由B，P，D三点共线，C，P，E三点共线,可知，,解得即可得出结果. 【题目详解】 设，则，， 因为B，P，D三点共线，C，P，E三点共线， 所以，，所以，. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 计算sinα，再利用诱导公式计算得到答案. 【题目详解】 由题意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力. 14、. 【答案解析】 分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值. 详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种， 其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马， 田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马， 结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 15、 【答案解析】 】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值． 【题目详解】 ∵的终边过点，若， ． 即答案为-2. 【答案点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义和诱导公式，属基础题. 16、 【答案解析】 在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果. 【题目详解】 ， 如图，在中，由正弦定理可得， 即，故当时，取到最小值为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1) 的极小值为，无极大值.（2）见解析. 【答案解析】 （1）对求导，确定函数单调性，得到函数极值. （2）构造函数，证明恒成立，得到， ，得证. 【题目详解】 （1）由题意知，， 令，得，令，得. 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）当时，要证，即证. 令，则， 令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 所以，即.因为时，， 所以当时，， 所以当时，不等式成立. 【答案点睛】 本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数是解题的关键. 18、（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析 【答案解析】 （Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，对分奇偶讨论，即可得； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，用错位相减法求出，运用分析法证明即可. 【题目详解】 （Ⅰ）， 当为奇数时，，又由，得， 当为偶数时，，又由a2＝3，得， ； （Ⅱ）由（1）得， 则① ② ①-②可得： ， ， 若证明Sn，则需要证明， 又，即证明，即证， 又显然成立，故Sn得证. 【