2023年高考试题数学文（湖南卷）word版高中数学.docx

2023年普通高等学校招生全国统一考试〔湖南卷〕含答案 数学〔文史类〕 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 1.的值为 【 D 】 A．- B. C. D. 2. 抛物线=-8x的焦点坐标是 【 B 】w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．〔2，0〕 B. 〔- 2，0〕 C. 〔4，0〕 D. 〔- 4，0〕 3．设是等差数列｛｝的前n项和，=3，=11，那么等于 【 C 】 A．13 B. 35 C. 49 D. 63 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4．如图1 D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，那么 【 A 】 A．+ + =0 B．=0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C．=0 D．=0 图1 5．某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，那么这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 B 】 A．14 B. 16 C. 20 D. 48 6．平面六面体- 中，既与共面也与共面的棱的条数为【 C 】 A．3 B. 4 C.5 D. 6 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7．假设函数y=f(x)导函数在区间［a,b］是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象可能是〔A〕 8. 设函数在内有定义，对于给定的正数K，定义函数 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 取函数。当=时，函数的单调递增区间为 【C】 A B C D 二 填空题：本大题共七小题，没小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 9 . 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 10. 假设，那么的最小值为. 11. 在的展开式中，的系数为 6 (用数字作答)。 12 . 一个总体分为A.B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本。B层中每个个体被抽到的概率都为，那么总体中的个体数为 120 13. 过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线， 切点分别为A.B，假设〔O是坐标原点〕，那么双曲线线C的离心率为 2 。 14. 在锐角中，那么的值等于 2 ，的取值范围 为 。 15. 如图2，两块斜边长相等的直角三角板在一起，假设，那么 , . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 图2 三 解答题：每题共6小题，共75分，解容许写出文字说明.证明过程或演算步骤。 16 〔每题总分值12分〕 以知向量。 〔Ⅰ〕假设//，求的值； 〔Ⅱ〕假设求的值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解〔Ⅰ〕 因为，所以，于是 ，故 tan= 〔Ⅱ〕由 =知，+〔cos -2sin=5，所以 1-2sin2+4=5. 从而-2sin2+2〔1-cos2=4，即sin2+cos2 = -1，于是 Sin〔2+〕= - 又由0<<知， <2+<，所以2 +=，或2-= 因此 =，或= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17.〔本小题总分值12分〕 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为根底设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含工程的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任意一个工程参与建设要求： 〔I〕他们选择的工程所属类别互不相同的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔II〕至少有1人选择的工程属于民生工程的概率。 解:记第1名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,〔i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同〕相互独立， 且P〔〕=，p〔〕=，p〔〕= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔1〕他们选择的工程所属类别互不相同的概率 P=3！p〔〕=6p〔〕p〔〕p〔〕 =6x xx = 〔1I〕至少有1人选择的工程属于民生工程的概率 P=1-p〔〕w.w.w.k.s.5.u.c.o.m =1-p〔〕p〔〕p〔〕 =1-〔1-= w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18.〔本小题总分值12分〕 如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE 〔Ⅰ〕证明：平面平面; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔Ⅱ〕求直线AD和平面所成角的正弦值。 解 〔Ⅰ〕如以下图，由正三棱柱ABC-的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEA. 而DEA，,所以DE⊥平面 又DE 平面，故平面⊥平面 〔Ⅱ〕解法 1过点A作AF垂直于点 连接DF.由〔Ⅰ〕知，平面⊥平面， 所以AF平面,故直线AD和 平面所成的角。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为DE所以DEAC而 ABC是边长为4的正三角形，于是AD=2 AE=4-CE=4- =3 又因为= 所以E= == 4 , 即直线AD和平面所成的角的正弦值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解法2 如以下图，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，那么相关各 点的坐标分别是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0) 易知=〔-3，，-〕，=〔0，-，0〕，=〔-3，，0〕 设n=〔x，y，z〕是平面DE的一个法向量，那么 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得 故可取n=〔,0,-3，〕于是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为 19．〔本小题总分值13分〕 函数=++的导函数中图象关于直线x=2对称。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 求b的值； （2） 假设在x=1处取得最小值，记此极小值为g(1)，求g(1)的定义域和值域。 解〔1〕=3+2bx+c；因为函数〔x〕的图象关于直线x=2对称，所以=2，于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，=-6+cx；〔x〕=3-12x+c=3+c-12. 〔ⅰ〕当c 12时，〔x〕0，此时无极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔ii〕当c12时，〔x〕=0有两个互异实根·，不妨设＜，那么＜2＜ 当x＜时，〔〕>0， 在区间〔，〕内为增函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当＜x＜时，〔〕＜0，在区间〔，〕内为减肥函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当＜时，〔〕>0，在区间〔+，〕内为增函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以在 =处取极大值，在=处取极小值 因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以 于是的定义域为 由 得 于是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为 20 〔本小题总分值13分〕 椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的圆边形是一个面积为8的正方形〔记为Q〕 （1） 求椭圆C的方程：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线L与椭圆C相交于M.N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内〔包括边界〕时，求直线L的斜率的取值范围。 解 〔1〕 依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以 故椭圆C的方程式为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （3） 椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图，设点M，N的左边分别为线段MN的中点G， 由得 ……① 由解得 ……② 因为是方程①的两根，所以，于是 =， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 因为0，所以点G不可能在轴的右边，有直线,方程分 别为所以点在正方形内〔包括边界〕的充要条件为 既 亦即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解得，此时②也成立 故直线斜率的取值范围是[,) 21.〔本小题总分值13分〕 对于数列假设存在常数M＞0,对任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 那么称数列为数列 (I) 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; (II) 设S是数列的前n项和。给出以下两组判断： A组：①数列是B-数列。 ②数列不是B-数列。 ③数列是B-数列。 ④数列不是B-数列 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)假设数列{a}是B数列，证明：数列{a}也是B数列。 ,那么，于是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜ = =3×<3 所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔Ⅱ〕命题1：假设数列｛｝是B-数列，那么数列｛｝是B-数列 此命题为假命题 事实上设=1，nN，易知数列｛｝是B-数列，但=n， ｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜=n 由n有的任意性知，数列｛｝不是B-数列。 命题2：假设数列｛｝是B-数列，那么数列｛｝不是B-数列。 此命题为真命题。事实上，因为数列｛｝是B-数列，所以存在正数M，对任意的nN，有 ｜- ｜+｜-｜+…+｜-｜M w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以数列是数列。 〔注：按题中要求组成其它命题解答时，阐述解法〕 ③假设数列是数列，那么存在正数M，对任意的有 因为 ，那么有 因此 故数列是数列 ks5u