2023学年泰州中学高三下学期第五次调研考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点在曲线上，过作轴垂线，设与曲线交于点，，且点的纵坐标始终为0，则称点为曲线上的“水平黄金点”，则曲线上的“水平黄金点”的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ） A． B． C． D． 3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析． ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，是圆的一条直径，为半圆弧的两个三等分点，则（ ） A． B． C． D． 5．设椭圆：的右顶点为A，右焦点为F，B、C为椭圆上关于原点对称的两点，直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点，则椭圆E的离心率是（ ） A． B． C． D． 6．函数在上为增函数，则的值可以是( ) A．0 B． C． D． 7．在中，“”是“为钝角三角形”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D． 12．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．展开式中项系数为160，则的值为______. 14．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________. 15．等边的边长为2，则在方向上的投影为________． 16．已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）当时，不等式恒成立，求的最小值； （2）设数列，其前项和为，证明：. 18．（12分）设首项为1的正项数列{an}的前n项和为Sn，数列的前n项和为Tn，且，其中p为常数． （1）求p的值； （2）求证：数列{an}为等比数列； （3）证明：“数列an，2xan+1，2yan+2成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“x＝1，且y＝2”． 19．（12分）已知函数. （1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围： （2）若，记的两个极值点为，，记的最大值与最小值分别为M，m，求的值. 20．（12分）已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对任意成立，求实数的取值范围. 21．（12分）已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若满足，，，求. 22．（10分）已知椭圆的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为； （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点．若，求取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设,则,则,即可得,设,利用导函数判断的零点的个数,即为所求. 【题目详解】 设,则,所以, 依题意可得, 设,则, 当时,,则单调递减；当时,,则单调递增, 所以,且, 有两个不同的解,所以曲线上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C 【答案点睛】 本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 2、A 【答案解析】 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求. 【题目详解】 由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为, 所以每个等腰三角形的面积为, 所以圆的面积为,即, 所以当时,可得, 故选:A 【答案点睛】 本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力. 3、C 【答案解析】 利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可． 【题目详解】 ①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，①错误； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，②正确； ③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确； ④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题． 4、B 【答案解析】 连接、，即可得到，，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【题目详解】 解：连接、， ，是半圆弧的两个三等分点， ，且， 所以四边形为棱形， ． 故选：B 【答案点睛】 本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题. 5、C 【答案解析】 连接，为的中位线，从而，且，进而，由此能求出椭圆的离心率. 【题目详解】 如图，连接， 椭圆：的右顶点为A，右焦点为F， B、C为椭圆上关于原点对称的两点，不妨设B在第二象限， 直线BF交直线AC于M，且M为AC的中点 为的中位线， ，且， ， 解得椭圆的离心率. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质，考查了运算求解能力，属于基础题. 6、D 【答案解析】 依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案. 【题目详解】 当时，在上不单调，故A不正确； 当时，在上单调递减，故B不正确； 当时，在上不单调，故C不正确； 当时，在上单调递增，故D正确. 故选：D 【答案点睛】 本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题. 7、C 【答案解析】 分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果. 详解：由题意可得，在中，因为， 所以，因为， 所以，， 结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为， 所以，即，所以， 因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形， 所以充分性不满足， 反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D. 点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 8、A 【答案解析】 作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【题目详解】 作出函数的图象如图， 由图可知，， 函数有2个零点，即有两个不同的根， 也就是与在上有2个交点，则的最小值为； 设过原点的直线与的切点为，斜率为， 则切线方程为， 把代入，可得，即，∴切线斜率为， ∴k的取值范围是， ∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 9、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 10、C 【答案解析】 求导分析函数在时的单调性、极值，可得时，满足题意，再在时，求解的x的范围，综合可得结果. 【题目详解】 当时，， 令，则；，则， ∴函数在单调递增，在单调递减. ∴函数在处取得极大值为， ∴时，的取值范围为， ∴ 又当时，令，则，即， ∴ 综上所述，的取值范围为. 故选C. 【答案点睛】 本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题. 11、C 【答案解析】 根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积. 【题目详解】 根据三视图还原几何体的直观图如下图所示： 由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体， 该几何体的体积为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解 【题目详解】 设，则. 由题意有，所以. 故选：B 【答案点睛】 本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、-2 【答案解析】 表示该二项式的展开式的第r+1项，令其指数为3，再代回原表达式构建方程求得答案. 【题目详解】 该二项式的展开式的第r+1项为 令，所以，则 故答案为： 【答案点睛】 本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题. 14、 【答案解析】 设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可. 【题目详解】 如图， 设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形， 故. 在中， 由双曲线的定义可得 ， . 故答案为： 【答案点睛】 本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题. 15、 【答案解析】 建立直角坐标系，结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可. 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知：，，， 则：，， 且，， 据此可知在方向上的投影为. 【答案点睛】 本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，向量投影的