2023学年河南省示范中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( ) A． B． C． D． 3．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（ ） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 5．设集合，，则( ) A． B． C． D． 6．已知双曲线满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合；②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 7．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣4x﹣5＜0}，则A∩B＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2} 8．设复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D． 11．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于的整数除了和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，则的概率是（ ） A． B． C． D． 12．函数的图象大致是( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知三棱锥，，是边长为4的正三角形，，分别是、的中点，为棱上一动点（点除外），，若异面直线与所成的角为，且，则______. 14．设变量，，满足约束条件，则目标函数的最小值是______. 15．已知函数的定义域为R，导函数为，若，且，则满足的x的取值范围为______. 16．设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值. 18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； （2）设为曲线上位于第一，二象限的两个动点，且，射线交曲线分别于，求面积的最小值，并求此时四边形的面积. 19．（12分）设函数. (Ⅰ)当时，求不等式的解集； (Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围. 20．（12分）已知函数，,使得对任意两个不等的正实数，都有恒成立. （1）求的解析式； （2）若方程有两个实根，且，求证：. 21．（12分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切. （1）求点的轨迹的方程； （2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值. 22．（10分）已知椭圆与抛物线有共同的焦点，且离心率为，设分别是为椭圆的上下顶点 （1）求椭圆的方程； （2）过点与轴不垂直的直线与椭圆交于不同的两点，当弦的中点落在四边形内（含边界）时，求直线的斜率的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解 【题目详解】 作出不等式对应的平面区域，如图所示： 其中，直线过定点， 当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意； 当时，直线的斜率， 不等式表示直线下方的区域，不满足题意； 当时，直线的斜率， 不等式表示直线上方的区域， 要使不等式组所表示的平面区域内存在点， 使不等式成立，只需直线的斜率，解得. 综上可得实数的取值范围为， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题 2、A 【答案解析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值. 【题目详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且， 若，即，则，则，且， 故， 若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 【答案点睛】 解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 3、B 【答案解析】 分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【题目详解】 如下图所示， 分别取、的中点、，连接、、， 由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，， ，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为， ，则，且，所以，，， 是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点， 分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示， 由图形可知，， 在中，，， 所以，， 所以，球的半径为，因此，球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题． 4、B 【答案解析】 先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系. 【题目详解】 由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2， ∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上， ∴2n＝8，∴n＝3， ∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增， ∵，1＜lnπ＜3，n＝3， ∴， ∴a＜b＜c， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题. 5、D 【答案解析】 利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【题目详解】 由题意知,集合,, 由集合的交运算可得,. 故选:D 【答案点睛】 本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题. 6、B 【答案解析】 由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率． 【题目详解】 依题意可得，抛物线的焦点为，F关于原点的对称点；，，所以，，设，则，解得，∴ ，可得，又，，可解得，故双曲线的离心率是. 故选B． 【答案点睛】 本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般. 7、D 【答案解析】 解一元二次不等式化简集合,再由集合的交集运算可得选项. 【题目详解】 因为集合 ， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算，属于基础题. 8、D 【答案解析】 先把变形为，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，得到其坐标可得答案. 【题目详解】 解：由，得， 所以，其在复平面内对应的点为，在第四象限 故选：D 【答案点睛】 此题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 9、A 【答案解析】 建立平面直角坐标系，求出直线， 设出点，通过，找出与的关系． 通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围． 【题目详解】 以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系， 设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ， 所以， 由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A． 【答案点睛】 本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用． 10、B 【答案解析】 因为将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，结合已知，即可求得答案. 【题目详解】 将函数（，）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 ， 又和的图象都关于对称， 由， 得，， 即， 又， . 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 11、B 【答案解析】 先列举出不超过的素数，并列举出所有的基本事件以及事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，满足”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【题目详解】 不超过的素数有：、、、、、， 在不超过的素数中，随机选取个不同的素数，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种情况， 其中，事件“在不超过的素数中，随机选取个不同的素数、，且”包含的基本事件有：、、、，共种情况， 因此，所求事件的概率为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 12、B 【答案解析】 根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【题目详解】 设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B. 【答案点睛】 本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 取的中点，连接，，取的中点，连接，，，直线与所成的角为，计算，，根据余弦定理计算得到答案。 【题目详解】 取的中点，连接，，依题意可得，， 所以平面，所以， 因为，分别、的中点，所以，因为，所以， 所以平面，故，故， 故两两垂直。 取的中点，连接，，，因为， 所以直线与所成的角为， 设，则， ， 所以， 化简得，解得，即. 故答案为：. 【答案点睛】 本