2023学年洛阳市重点中学高三第四次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数在上单调递减的充要条件是（ ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．在区间上随机取一个数，使得成立的概率为等差数列的公差，且，若，则的最小值为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ） A． B． C． D． 5．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ） A．2014年我国入境游客万人次最少 B．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势 C．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次 D．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 6．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 7．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ） A．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班 B．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定 C．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班 D．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是103 8．某设备使用年限x（年）与所支出的维修费用y（万元）的统计数据分别为，，，，由最小二乘法得到回归直线方程为，若计划维修费用超过15万元将该设备报废，则该设备的使用年限为（ ） A．8年 B．9年 C．10年 D．11年 9．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ） A． B．3 C． D． 10．函数在的图象大致为 A． B． C． D． 11．过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若，且，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在编号为1，2，3，4，5且大小和形状均相同的五张卡片中，一次随机抽取其中的三张，则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________. 14．已知数列满足：点在直线上，若使、、构成等比数列，则______ 15．平面直角坐标系中,O为坐标原点,己知A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为 16．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的最大值为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）某公司欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格)(单位:万元)是每日产量(单位:吨)的函数:. （1）求当日产量为吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)； （2）记每日生产平均成本求证：； （3）若财团每日注入资金可按数列(单位:亿元)递减，连续注入天，求证:这天的总投入资金大于亿元. 18．（12分）已知函数，将的图象向左移个单位，得到函数的图象. （1）若，求的单调区间； （2）若，的一条对称轴是，求在的值域. 19．（12分）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 20．（12分）已知函数，其中． （1）①求函数的单调区间； ②若满足，且．求证： ． （2）函数．若对任意，都有，求的最大值． 21．（12分）的内角，，的对边分别为，,已知，. （1）求； （2）若的面积，求. 22．（10分）已知矩形中，，E，F分别为，的中点.沿将矩形折起，使，如图所示.设P、Q分别为线段，的中点，连接. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 先求导函数，函数在上单调递减则恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质和图象，列不等式组求解可得. 【题目详解】 依题意，， 令，则，故在上恒成立； 结合图象可知，，解得 故. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求三角函数单调区间. 求三角函数单调区间的两种方法: (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间. 2、C 【答案解析】 根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项. 【题目详解】 ∵， ， ∴函数为奇函数， ∴排除选项A，B； 又∵当时，， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件，求得，从而求得，解不等式求得结果. 【题目详解】 由题意，本题符合几何概型，区间长度为6， 使得成立的的范围为，区间长度为2， 故使得成立的概率为， 又，，， 令，则有，故的最小值为11， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 4、A 【答案解析】 根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解. 【题目详解】 当为奇数时，， 则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列， 当为偶数时，， 则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列. 所以 . 故选：A 【答案点睛】 本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题. 5、D 【答案解析】 ABD可通过统计图直接分析得出结论，C可通过计算中位数判断选项是否正确. 【题目详解】 A．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确； B．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确； C．入境游客万人次的中位数应为与的平均数，大于万次，故正确； D．由统计图可知：前年的入境游客万人次相比于后年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求. 6、B 【答案解析】 由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解 【题目详解】 双曲线的一条渐近线与直线垂直． ∴双曲线的渐近线方程为． ，得． 则离心率． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 7、D 【答案解析】 计算两班的平均值，中位数，方差得到正确，两班人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，错误，得到答案. 【题目详解】 由题意可得甲班的平均分是104，中位数是103，方差是26.4； 乙班的平均分是102，中位数是101，方差是37.6，则A，B，C正确. 因为甲、乙两班的人数不知道，所以两班的总平均分无法计算，故D错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了茎叶图，平均值，中位数，方差，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8、D 【答案解析】 根据样本中心点在回归直线上，求出，求解，即可求出答案. 【题目详解】 依题意在回归直线上， ， 由， 估计第年维修费用超过15万元. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查回归直线过样本中心点、以及回归方程的应用，属于基础题. 9、D 【答案解析】 建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值. 【题目详解】 如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值． 设，则，化简得：， 则，解得：， 即点的轨迹上的点到的距离的最小值是. 故选：. 【答案点睛】 本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值. 10、A 【答案解析】 因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A． 11、D 【答案解析】 如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接，设，利用双曲线的几何性质可以得到，，结合、可求离心率. 【题目详解】 如图，设双曲线的右焦点为，连接，连接并延长交右支于. 因为，故四边形为平行四边形，故. 又双曲线为中心对称图形，故. 设，则，故，故. 因为为直角三角形，故，解得. 在中，有，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题. 12、B 【答案解析】 先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可． 【题目详解】 由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即， ∵是直线上任意一点， 则直线与直线的距离， ∵圆与双曲线的右支没有公共点，则， ∴，即，又 故的取值范围为， 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 先求出所有的基本事件个数，再求出“抽取的三张卡片编号之和是偶数”这一事件包含的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可算出结果. 【题目详解】 一次随机抽取其中的三张，所有基本事件为： 1，2，3；1，2，4；1，2，5；1，3，4；1，3，5；1，4，5；2，3，4；2，3，5；2，4，5；3，4，5；共有10个， 其中“抽取的三张卡片编号之和是偶数”包含6个基本事件， 因此“抽取的三张卡片编号之和是偶数”的概率为：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了古典概型及其概率计算公式，属于基础题. 14、13 【答案解析】 根据点在直线上可求得，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【题目详解】 在上，， 成等比数列，，即，解得：. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.