2023学年河南省驻马店经济开发区高级中学高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 2．是的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，，成等差数列，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A．3 B．2 C． D．1 5．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分不必要条件 6．已知双曲线的一条渐近线为，圆与相切于点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，是单位向量，若，则（ ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A． B． C． D． 9．复数（　　） A． B． C．0 D． 10．已知为虚数单位，实数满足，则 (　　 ) A．1 B． C． D． 11．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ） A． B．4 C． D．2 12．已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知复数，其中为虚数单位，则的模为_______________. 14．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且=, 那么椭圆的方程是 ． 15．已知是第二象限角，且，，则____. 16．已知函数，则曲线在处的切线斜率为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，. （1）证明：平面平面； （2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置. 18．（12分）已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为1． （1）求椭圆的方程； （1）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 19．（12分）已知函数. （1）当时，解不等式； （2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围. 20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，∠，是边长为2的正三角形，，为线段的中点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段上一点，当二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积． 21．（12分）如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，为等边三角形，M，N分别是AB，AD的中点，且平面平面ABCD. （1）证明：平面PNB； （2）问棱PA上是否存在一点E，使平面DEM，求的值 22．（10分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且 （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求锐二面角的大小． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解. 【题目详解】 ，由得，整理得， ，解得， 因此，向量在向量方向上的投影为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题. 2、B 【答案解析】 利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系，即可得出。 【题目详解】 设对应的集合是，由解得且 对应的集合是 ，所以， 故是的必要不充分条件，故选B。 【答案点睛】 本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。 设 ， 如果，则是的充分条件；如果B则是的充分不必要条件； 如果，则是的必要条件；如果，则是的必要不充分条件。 3、C 【答案解析】 根据等差数列的性质设出，，，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率. 【题目详解】 由已知，，成等差数列，设，，. 由于，据勾股定理有，即，化简得； 由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以； 在直角中，由勾股定理，，∴离心率. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题. 4、A 【答案解析】 根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案. 【题目详解】 解：由于，根据导数的几何意义得： ， 即切线斜率， 当且仅当等号成立， 所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 5、A 【答案解析】 试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件. 6、D 【答案解析】 由圆与相切可知，圆心到的距离为2，即.又，由此求出的值，利用离心率公式，求出e. 【题目详解】 由题意得，， ，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题. 7、C 【答案解析】 设，根据题意求出的值，代入向量夹角公式，即可得答案； 【题目详解】 设，， 是单位向量，, ，， 联立方程解得：或 当时，； 当时，； 综上所述：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查向量的模、夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意的两种情况. 8、C 【答案解析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值. 【题目详解】 因为，且， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果. 9、C 【答案解析】略 10、D 【答案解析】 ， 则 故选D. 11、D 【答案解析】 由得，又，两式相除即可解出． 【题目详解】 解：由得， 又， ∴，∴，或， 又正项等比数列得， ∴， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 12、C 【答案解析】 将圆，化为标准方程为，求得圆心为.根据圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，.再根据求解. 【题目详解】 已知圆， 所以其标准方程为：， 所以圆心为. 因为双曲线， 所以其渐近线方程为， 又因为圆关于双曲线的一条渐近线对称， 则圆心在渐近线上， 所以. 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质 ，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用复数模的计算公式求解即可. 【题目详解】 解：由，得， 所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查复数模的求法，属于基础题. 14、 【答案解析】 由题意可设椭圆方程为： ∵短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在轴上 ∴ 又， ∴， ∴椭圆的方程为， 故答案为． 考点：椭圆的标准方程，解三角形以及解方程组的相关知识． 15、 【答案解析】 由是第二象限角，且，可得，由及两角和的正切公式可得的值. 【题目详解】 解：由是第二象限角，且，可得，， 由，可得，代入， 可得， 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查同角三角函数的基本关系及两角和的正切公式，相对不难，注意运算的准确性. 16、 【答案解析】 求导后代入可构造方程求得，即为所求斜率. 【题目详解】 ，，解得：， 即在处的切线斜率为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查切线斜率的求解问题，考查导数的几何意义，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析；（2）为线段上靠近点的四等分点，且坐标为 【答案解析】 （1）先通过线面垂直的判定定理证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明； （2）分析位置关系并建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值与平面法向量夹角的余弦值之间的关系，即可计算出的坐标从而位置可确定. 【题目详解】 （1）证明：因为，，， 所以，即. 又因为，，所以， ，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解：连接，因为，是的中点，所以. 由（1）知，平面平面，所以平面. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是，，，. 设，， ，， 代入上式得，，，所以. 设平面的一个法向量为，，， 由，得. 令，得. 因为二面角的平面角的大小为， 所以，即，解得. 所以点为线段上靠近点的四等分点，且坐标为. 【答案点睛】 本题考查面面垂直的证明以及利用向量法求解二面角有关的问题，难度一般.（1）证明面面垂直，可通过先证明线面垂直，再证明面面垂直；（2）二面角的余弦值不一定等于平面法向量夹角的余弦值，要注意结合图形分析. 18、（1） （1）不存在，理由见解析 【答案解析】 （1）利用离心率和过点，列出等式，即得解 （1）设的方程为，与椭圆联立，利用韦达定理表示中点N的坐标，用点坐标表示，利用韦达关系代入，得到关于k的等式，即可得解. 【题目详解】 （1）由题意，可得解得 则， 故椭圆的方程为． （1）当直线的斜率不存在时， ，不符合题意． 当的斜率存在时， 设的方程为， 联立得， 设， 则，， ，即． 设，则， ， ， 则， 即， 整理得，此方程无解，故的方程不存在． 综上所述，不存在直线使得． 【答案点睛】 本题考查了直线和椭圆综合，考查了弦长和中点问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 19、（1）或；（2） 【答案解析】 （1）使用零点分段法，讨论分段的取值范围，然后取它们的并集，可得结果. （2）利用等价转化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根据集合间的包含关系，可得结果. 【题目详解】 （1）当时， 原不等式可化为. ①当时， 则，所以； ②当时， 则，所以； ⑧当时， 则，所以. 综上所述： 当时，不等式的解集为或. （2）由， 则， 由题可知： 在恒成立， 所以，即， 即， 所以 故所求实数的取值范围是. 【答案点睛】 本题考查零点分段求解含绝对值不等式，熟练使用分类讨论的方法，以及知识的交叉应用，同时掌握等价转化的思想，属中档题. 20、（1）见解析； （2