2023年高三数学14分突破一轮复习必备精品7高中数学.docx

第七章平面向量 考纲导读 1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． 2．掌握向量的加法和减法的运算法那么及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法那么及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量根本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 7．掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． 高考导航 知识网络 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份〞，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法那么，共线定理、根本定理、平行四边形法那么及三角形法那么． 2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用． 4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时 向量的概念与几何运算 根底过关 1．向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量． ⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法那么或 法那么进行．加法满足 律和 律． ⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积 ⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下： ① | |＝ ． ② 当＞0时，的方向与的方向 ； 当＜0时，的方向与的方向 ； 当＝0时， ． ⑵ (μ)＝ ． (＋μ)＝ ． (＋)＝ ． ⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量根本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ． ⑵ 设、是一组基底，＝，＝，那么与共线的充要条件是 ． 典型例题 例1．△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求． 解：＝－＝(＋)－＝－＋ 变式训练1.如以下图，D是△ABC边AB上的中点，那么向量等于〔 〕 A D B C A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ 解:A 例2. 向量，，，其中、不共线，求实数、，使． 解:＝λ＋μ2－9＝(2λ＋2μ)＋(－3λ＋3μ)2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ＝2，且μ＝－1 变式训练2：平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证： 证明 ＋＝2，＋＝2＋＋＋＝4 例3. ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，假设，，试用、表示和． 解：连NC，那么； B O A D C N M 变式训练3：如以下图，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，． 解:＝＋，＝＋， ＝－ 例4. 设，是两个不共线向量，假设与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？ 解：设 (∈R)化简整理得： ∵，∴ 故时，三向量的向量的终点在一直线上． 变式训练4：，设，如果 ，那么为何值时，三点在一条直线上？ 解：由题设知，，三点在一条 直线上的充要条件是存在实数，使得，即， 整理得. ①假设共线，那么可为任意实数； ②假设不共线，那么有，解之得，. 小结归纳 综上，共线时，那么可为任意实数；不共线时，. 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明． 2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行． 3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，那么证∥即可． 4．向量加法的三角形法那么可以推广为多个向量求和的多边形法那么，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法那么特点：首首相接连终点． 第2课时 平面向量的坐标运算 根底过关 1．平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ． 2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系． 3．平面向量的坐标运算： 假设＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，那么： ＋＝ －＝ λ＝ A(x1、y1)，B(x2、y2)，那么＝ ． 4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ． 典型例题 例1.点A〔2，3〕，B〔－1，5〕，且＝，求点C的坐标． 解＝＝(－1，)，＝＝(1, )，即C(1, ) 变式训练1.假设，，那么= . 解: 提示： 例2. 向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值． 解:|－|＝＝cos＝cos(α－β)＝ 变式训练2.－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋． 解 ＝(－1，1)，＝(1，0)，∴＋＝(0，1) 例3. 向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x． 解:＝(1＋2x，4)，＝(2－x，3)，∥3(1＋2x)＝4(2－x)x＝ 变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，∥，求证：k≥． 证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥ A M B C D P 例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P． (1) 假设＝(3，5)，求点C的坐标； (2) 当||＝||时，求点P的轨迹． 解：(1)设点C的坐标为(x0，y0)， 得x0＝10 y0＝6 即点C(10，6) (2) ∵ ∴点D的轨迹为(x－1)2＋(y－1)2＝36 (y≠1) ∵M为AB的中点 ∴P分的比为 设P(x，y)，由B(7，1) 那么D(3x－14，3y－2) ∴点P的轨迹方程为 变式训练4.在直角坐标系x、y中，点A(0，1)和点B(－3，4)，假设点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求的坐标． 解 A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)， D (－3，9) 那么四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD ∵ ∴ 小结归纳 1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形〞与“数〞的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化． 2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算． 第3课时 平面向量的数量积 根底过关 1．两个向量的夹角：两个非零向量和，过O点作＝，＝，那么∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 ．当θ＝0°时，与 ；当θ＝180°时，与 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作 ． 2．两个向量的数量积的定义：两个非零向量与，它们的夹角为θ，那么数量 叫做与的数量积〔或内积〕，记作·，即·＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．假设＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，那么·＝ ． 3．向量的数量积的几何意义： ||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)． ·的几何意义是，数量·等于 ． 4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角． ⑴ ·＝·＝ ⑵ ⊥ ⑶ 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ． ⑷ cosθ＝ ． ⑸ |·|≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴ ·＝ ； ⑵ (λ)·＝ ＝·(λ) ⑶ (＋)·＝ 典型例题 例1. ||＝4，||＝5，且与的夹角为60°，求：(2＋3)·(3－2)． 解:(2＋3)(3－2)＝－4 变式训练1.||＝3，||＝4，|＋|＝5，求|2－3|的值． 解: 例2. 向量＝(sin，1)，＝(1，cos)，－． (1) 假设a⊥b，求； (2) 求|＋|的最大值． 解：(1)假设，那么 即 而，所以 (2) 当时，的最大值为 变式训练2：，，其中． (1)求证： 与互相垂直； (2)假设与的长度相等，求的值(为非零的常数)． 证明： 与互相垂直 〔2〕, , ,, 而 ， 例3. O是△ABC所在平面内一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，判断△ABC是哪类三角形． 解:设BC的中点为D，那么()()＝02·＝0BC⊥AD△ABC是等腰三角形 变式训练3：假设，那么△ABC的形状是 . 解: 直角三角形.提示： 例4. 向量＝(cosθ, sinθ)和＝(－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且||＝，求cos()的值. 解:＝(cosθ－sinθ＋, cosθ＋sinθ)由(cosθ－sinθ＋)2＋(cosθ＋sinθ)2＝ 化简：cos 又cos2 ∵θ∈(π, 2π) ∴cos<0 ∴cos＝－ 变式训练4.平面向量，假设存在不同时为的实数和，使,且，试求函数关系式. 解：由得 小结归纳 1．运用向量的数量积可以解决有关长度、角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法． 2．注意·与ab的区别．·＝0≠＞＝，或＝． 3．应根据定义找两个向量的夹角。对于不共起点的两个向量，通过平移，使起点重合． 第4课时 线段的定比分点和平移 根底过关 1． 设P1P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P1、P2的任意一点，那么存在一个实数λ使＝λ，λ叫做 ． 2．设P1〔x1、y1〕，P2〔x2、y2〕，点P〔x、y〕分的比是λ时，定比分点坐标公式为： ，中点坐标公式： 。 3． 平移公式：将点