2023年数学解题中转化思维的十种策略.doc

数学解题中转化思维的十种策略 江苏洪泽县中学 胡国生 数学活动的实质就是思维的转化过程，在解题中，要不断改变解题方向，从不同角度，不同的侧面去探讨问题的解法，寻求最正确方法，在转化过程中，应遵循三个原那么：1、熟悉化原那么，即将陌生的问题转化为熟悉的问题；2、简单化原那么，即将复杂问题转化为简单问题；3、直观化原那么，即将抽象总是具体化。   策略一：正向向逆向转化   一个命题的题设和结论是因果关系的辨证统一，解题时，如果从下面入手思维受阻，不妨从它的正面出发，逆向思维，往往会另有捷径。   例1 ：四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不共面的取法共有__________种。   A、150       B、147       C、144       D、141   分析：此题正面入手，情况复杂，假设从反面去考虑，先求四点共面的取法总数再用补集思想，就简单多了。   解：10个点中任取4个点取法有种，其中面ABC内的6个点中任取4点都共面有种，同理其余3个面内也有种，又，每条棱与相对棱中点共面也有6种，各棱中点4点共面的有3种，不共面取法有种，应选〔D〕。   策略二：局部向整体的转化   从局部入手，按部就班地分析问题，是常用思维方法，但对较复杂的数学问题却需要从总体上去把握事物，不纠缠细节，从系统中去分析问题，不单打独斗。   例2：一个四面体所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，那么此球外表积为〔    〕   A、        B、        C、        D、   分析：假设利用正四面体外接球的性质，构造直角三角形去求解，过程冗长，容易出错，但把正四面体补形成正方体，那么正四面体，正方体的中心与其外接球的球心共一点，因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径为，应选〔A〕。         策略三：未知向转化   又称类比转化，它是一种培养知识迁移能力的重要学习方法，解题中，假设能抓住题目中关键信息，锁定相似性，巧妙进行类比转换，答案就会应运而生。   例3：在等差数列中，假设，那么有等式   〔成立，类比上述性质，在等比数列中， ，那么有等式_________成立。   分析：等差数列中，，必有，   ，   故有类比等比数列，因为    ，故成立。 策略四：固定向重组的转化   挖掘题目隐含关系，将条件或结论巧妙而又合理地改造，重新组合，让零散的信息聚整，模糊的信息显现。   例4：外两条直线，给出四个论断：① ② ③ ④以其中三个论断为条件，余下论断为结论，写出所有正确的命题。   分析：此题要求学生对线线关系，面面关系，以及线面关系的判定及其性质理解透彻，重点考查学生对信息分析、重组判断能力，正确命题有①②③④，②③④①   策略五：抽象向具体转化   有些题目看起来较为抽象，貌似不易解决，但结合具体数学情境，联系相知，建立模型，以启迪解题思路，寻找解决问题的突破口。   例5：为常数，且，问是不是周期函数，假设是，求出周期，假设不是说明理由。   分析：由联想到，找到一个具体函数，=，而函数猜测是一个周期为的函数。这样方向明，思路清。   证明：，     策略六：个别向一般的转化   华罗庚说过：“善于退，足够地退，退到起始，而不失去重要地步，是学好数学的决窍。〞 对于外表上难于解决的问题，需要我们退步考虑，研究特殊现象，再运用分析归纳、迁移、演绎等手法去概括一般规律，使问题获解。   例6：数列 ()是首项为，公比为的等比数列。   〔1〕  求和：；     〔2〕  由〔1〕的结果归纳出关于正整数的一个结论，并加以证明。     分析：〔1〕  〔〕   同理可得：=    猜测：   证明：=         =   策略七：数向形的转化   数缺形时少直观，形缺数时难入微，形数结合是数学的重要表现形式，通过对不等式函数等变形，代换处理后，赋于其几何意义，以形定数，可以避繁就简。   例7：设，求证：   分析：不等式右端为，可看为单位正方形的两条对角线之和，从题目的整体结构容易联想到勾股定理。   证明：作边长为1的正方形ABCD，作两组平行线把正方形分成四个矩形，那么不等式左端=〔PA+PC〕+〔PB+PD〕AC+BD=，当且仅当P在正方形中心处，即时，“等号〞成立。 策略八：暄量向定性的转化   当定量求解某些问题困难时，可以考虑将定量问题转化为定性问题，通过定性判断来解决。   例8：函数图象如以下列图       那么函数图象可能是〔    〕       分析:要根据的函数图象准确地画出的图象是困难的，但我们注意到一奇一偶，所以是奇函数排除B，但在无意义，又排除C、D，应选A。   策略九：主元向辅元的转化   主元与辅元是人为的相对的，可以相互切换，当确定了某一元素为主元时，那么其他元素是辅元。   例9：关于的方程：有且仅有一个实根，求实数的取值范围。   分析：显然，题目中的是主元，为辅元，但方程中的最高次数为3，求根比拟困难，注意到的最高次数为2，故可视为主元，原方程转化为关于的二次方程。   解：原方程可代为即   ，原方程有唯一实根，无实根，     策略十：模式向创造的转化   数学题目千变万化，虽然不存在固有的解题模式和千篇一律的解题方法，但只要我们破除思维定势，树立创新意识，进行发散思维，左挂右联，巧思妙想，分析题目结构特征，还是可以找到令人耳目一新的解法   例10：：        求证：   证明：构造对偶式：令                那么          =   又  〔         参考文献：   1、李绍亮选择题结构、设计与解法，中学数学参考1994年第7期。   2、黄孝长重视转化思想渗透，着意思维品质的培养，中学数学2023年第6期。   3、罗增儒解题杂谈，中学数学教学参考2023年第7期。   4、刘康宁求最值的方法与技巧种种，中学数学教学参考1994年第12期。