2023年高考数学一轮复习第十一章第3节二项式定理高中数学.docx

第十一章 第三节 二项式定理 题组一 求展开式中的指定项和特定项 1.(2023·重庆高考)(x2＋)8的展开式中x4的系数是 (　　) A．16 B．70 C．560 D．1 120 解析：由二项展开式通项公式得 Tr＋1＝ (x2)()r＝2r. 由16－3r＝4，r＝4，那么x4的系数为24＝1 120. 答案：D 2．(x－)12的展开式中的常数项为 (　　) A．－132 0 B．1 320 C．－220 D．220 解析：展开式的通项是Tr＋1＝x12－r(－)r＝ (－1)rx，令12－＝0，得r＝9，故展开式的常数项是T10＝(－1)9＝－220. 答案：C 3．(2023·湖南高考)在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x的系数为________(用数字作答)． 解析：＋＋＝23－1＝7. 答案：7 4．假设6的二项展开式中x3的系数为，那么a＝__________(用数字作答)． 解析：通项Tr＋1＝·， 当12－3r＝3时，r＝3， 所以系数为·a－3＝，得a＝2. 答案：2 题组二 求展开式中各项系数的和 5.在n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，那么中间项系数是(　　) A．330 B．462 C．682 D．792 解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2＝1 024，∴n＝11，∴展开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为＝＝462. 答案：B 6．(2023·陕西高考)假设(1－2x)2023＝a0＋a1x＋…＋a2023x2023(x∈R)，那么＋＋…＋的值为 (　　) A．2 B．0 C．－1 D．－2 解析：令x＝0，那么a0＝1， 令x＝， 那么a0＋＋＋…＋＝0， ∴＋＋…＋＝－1. 答案：C 7．(2023·黄石模拟)(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，那么a，b，n的值可能为 (　　) A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6 C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5 解析：不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25， ∴n＝5， 答案：D 8．假设(x－2)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，那么a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________.(用数字作答) 解析：由题设令x＝0得a0＝(－2)5＝－32， 令x＝1得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝(1－2)5＝－1， 故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1－(－32)＝31. 答案：31 题组三 求展开式中系数最大项问题 9.在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，那么展开式的常数项为(　　) A．－7 B．7 C．－28 D．28 解析：依题意，＋1＝5，∴n＝8.二项式为8，易得常数项为26＝7. 答案：B 10．(2023·贵阳模拟)(＋)n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，那么(1－x)n的展开式中系数最小的项的系数等于________． 解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由得2n＝64，所以n＝6，(1－x)6的展开式中，第四项的系数最小，为－＝－20. 答案：－20 11．二项式(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为7，且二项式系数最大的一项的值为，那么x在(0,2π)内的值为________． 解析：由可得C＋C＝n＋1＝7，即得n＝6， 二项式系数最大的一项为 ·sin3x＝20sin3x＝， 解得sinx＝，又x∈(0,2π)， ∴x＝或. 答案：或 题组四 二项式定理的综合应用 12.假设(x－)n的展开式中含有非零常数项，那么这样的正整数n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．10 D．12 解析：Tr＋1＝C(x)n－r(－)r ＝C()n－r(－1)r()r·xn－r·x－ ＝C()n－r(－)rxn－， 令n－r＝0，得n＝r. ∴n取最小值为4. 答案：B 13．令an为(1＋x)的展开式中含x项的系数，那么数列{}的前n项和为 (　　) A. B. C. D. 解析：∵Tr＋1＝C·xr， ∴an＝＝C＝，＝， ∴＝2 ＝2＝. 答案：D 14．(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋)4的展开式中x3的系数相等，那么cosθ＝__________. 解析：(xcosθ＋1)5＝(1＋xcosθ)5，展开式中x2的系数为cos2θ. (x＋)4＝(＋x)4，展开式中x3的系数为， 由题意可知cos2θ＝，∴cos2θ＝， ∴cosθ＝±. 答案：± 15．关于二项式(x－1)2 005，有以下命题： ①该二项展开式中非常数项的系数之和是1； ②该二项展开式中第六项为x1 999； ③该二项展开式中系数最大的项是第1 002项； ④当x＝2 006时，(x－1)2 005除以2 006的余数是2 005. 其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题序号都填上) 解析：二项式(x－1)2 005所有项的系数和为0，其常数项为－1，非常数项的系数和是1，即得①正确；二项展开式的第六项为－x2 000，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为C2 005x1 003＝x1 003，－C2 005x1 002＝－x1 002，得系数最大的项是第1 003项·x1 003，即③错误；当x＝2 006时，(x－1)2 005除以2 006的余数是2 006－1＝2 005，即④正确． 答案：①④