2023年高中数学212指数函数及其性质同步测控优化训练新人教A必修1.docx

指数函数及其性质 5分钟训练 (预习类训练，可用于课前) 1.以下以x为自变量的函数中，是指数函数的是( ) A.y=〔-4〕x B.y=πx C.y=-4x D.y=ax+2〔a＞0且a≠1〕 思路解析：从指数函数的定义出发解决此题. 由指数函数的定义知，选B. 答案：B ①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，那么a、b、c、d与1的大小关系是( ) A.a＜b＜1＜c＜d B.b＜a＜1＜d＜c C.1＜a＜b＜c＜d D.a＜b＜1＜d＜c 思路解析：直线x=1与四个指数函数图象交点的坐标分别为〔1，a〕、〔1，b〕、〔1，c〕、〔1，d〕，由图象可知纵坐标的大小关系. 答案：B 3.函数y=ax-3+3〔a>0且a≠1〕恒过定点_________. 思路解析：a3-3+3=a0+3=4. 答案：〔3，4〕 4.某种细菌每隔两小时分裂一次〔每一个细菌分裂成两个，分裂所需时间忽略不计〕，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f〔t〕， 〔1〕写出函数y=f〔t〕的定义域和值域； 〔2〕在所给坐标系中画出y=f〔t〕〔0≤t＜6=的图象； 〔3〕写出研究进行到n小时〔n≥0，n∈Z〕时，细菌的总数有多少个〔用关于n的式子表示〕 解：〔1〕y=f〔t〕定义域为t∈［0，+∞］，值域为{y|y=2n，n∈N x}. 〔2〕0≤t＜6时，为一分段函数 y= 图象如以以下图. 〔3〕n为偶数时，y=；n为奇数时，y=. ∴y= 10分钟训练 (强化类训练，可用于课中) 1.镭经过100年剩余的质量是原来质量的0.957 6，设质量为1的镭经过x年后，剩留量是y，那么y关于x的函数关系是( ) A.y= B.y=〔〕x C.y=0.957 6100x D.y=1- 思路解析：首先应求出经过一年后放射掉其质量的百分比，然后求得放射一年后剩余原来质量的百分比，再根据x、y的函数应该是指数函数，就可得正确答案.设镭一年放射掉其质量的t%，那么有0.957 6=1·〔1-t%〕100.∴t%=1-〔0.957 6.∴y=〔1-t%〕x=〔0.957 6.选A. 答案：A 2.当x＞0时，函数f〔x〕=〔a2-1〕x的值总大于1，那么实数a的取值范围是( ) A.1＜|a|＜ B.|a|＜1 C.|a|＞1 D.|a|＞ 思路解析：由指数函数的性质，可知f〔x〕在〔0，+∞〕上是递增函数，所以a2-1＞1，a2＞2，|a|＞. 答案：D 3.函数f〔x〕=ax+a-x〔a>0且a≠1〕，f〔1〕=3，那么f〔0〕+f〔1〕+f〔2〕的值为_________. 思路解析：f〔0〕=a0+a0=2，f〔1〕=a+a-1=3，f〔2〕=a2+a-2=〔a+a-1〕2-2=9-2=7, ∴f〔0〕+f〔1〕+f〔2〕=12. 答案：12 4.函数y=〔2m-1〕x是指数函数，那么m的取值是_________. 思路解析：考查指数函数的概念.据指数函数的定义，y=ax中的底数a约定a＞0且a≠2m-1＞0且2m-1≠1，所以m＞且m≠1. 答案：m＞且m≠1 +=3，求a2+a-2的值. 思路解析：此题考查指数的运算.从条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取，应该设法从整体寻求结果与条件+=3的联系进而整体代入求值. 解：将+=3两边平方得a1+a-1+2=9，即a1+a-1=7.再将其平方，有a2+a-2+2=49，从而得到a2+a-2=47. 6.f〔x〕= +a为奇函数. 〔1〕求a的值； 〔2〕求函数的单调区间. 思路解析：此题考查函数的奇偶性、单调性及运算能力.主要是利用和稳固奇偶函数的定义、单调函数的定义. 解：〔1〕∵f〔-x〕=+a=+a=-1+a-=-1+2a-f〔x〕，由f〔-x〕=-f〔x〕，得-1+2a=0.∴a=. 〔2〕对于任意x1≠0，x2≠0，且x1<x2. f〔x1〕-f〔x2〕=. 当x1<x2<0时，>，<1，<1. ∴f〔x1〕-f〔x2〕>0；当0<x1<x2时，>，>1，>1. ∴f〔x1〕-f〔x2〕>0. ∴函数的单调递减区间为〔-∞，0〕，〔0，+∞〕. 7.如果函数y=a2x+2ax-1〔a＞0，a≠1〕在区间［-1，1］上的最大值是14，求a的值. 思路解析：利用换元法、配方法及等价转化思想. 解：设t=ax，那么y=f〔t〕=t2+2t-1=〔t+1〕2-2. 当a＞1时，0＜a-1≤t≤a，此时y max =a2+2a-1，由题设a2+2a-1=14，得a=3，满足a＞1. 当0＜a＜1，t∈［a，a-1］，此时y max =〔a-1〕2+2a-1-1. 由题设a-2+2a-1-1=，得a=. 快乐时光 传话 Ａ对Ｂ说：“听说老王家的鸡刚生出的蛋落地便破壳，马上变出了小鸡.〞Ｂ告诉Ｃ：“新鲜事，老王家的鸡生出的蛋，壳还没破，就变成了小鸡.〞Ｃ又对Ｄ说：“真怪，老王家的鸡直接生出了小鸡！〞Ｄ又对Ｅ说，Ｅ告诉了Ｆ，Ｆ告诉了Ｇ……恰好Ｇ巧遇Ａ，告诉Ａ：“奇迹，老王家的鸡生出一只小乌龟！〞 30分钟训练 (稳固类训练，可用于课后) 1.假设函数y=ax+b-1〔a>0且a≠1〕的图象经过一、三、四象限，那么一定有( ) A.a>1且b<1 B.0<a<1且b<0 C.0<a<1且b>0 D.a>1且b<0 思路解析：此题考查指数函数的图象. 函数y=ax+b-1〔a>0且a≠1〕的图象经过一、三、四象限，那么必有a>1； 进而可知 答案：D 2.如果函数y=〔a2-4〕x在定义域内是减函数，那么a的取值范围是( ) A.|a|>2 B.|a|> C.|a|< D.2<|a|< 思路解析：∵0<a2-4<1，∴4<a2<5. ∴2<|a|<. 答案：D 3.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，假设荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( ) 思路解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2x，当x=20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半.应选C. 答案：C 4.函数y=2|x|的值域是( ) A.〔0，1 B.［1，+∞ C.〔0，1〕 D.〔0，+∞〕 解法一：y=2|x|=作出图象观察得函数的值域为［1，+∞〕. 解法二：令u=|x|≥0，那么y=2u≥20=1. 答案：B 5.农民收入由工资性收入和其他收入两局部构成.2023年某地区农民人均收入为3 150元〔其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元〕，预计该地区自2023年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元，根据以上数据，2023年该地区农民人均收入介于( ) A.3 200元～3 400元 B.3 400元～3 600元 C.3 600元～3 800元 D.3 800元～4 000元 思路解析：此题考查指数函数的应用.设2023年该地区农民人均收入为y元，那么y=1 800×〔1+6%〕2+1 350+160×2≈3 686〔元〕. 答案：C 6.右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y〔m2〕与时间t〔月〕的关系：y=at，有以下表达，其中正确的选项是( ) ①这个指数函数的底数为2 ②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 ③浮萍从4 m2蔓延到12 m2 ④浮萍每月增加的面积都相等 ⑤假设浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为t1、t2、t3，那么t1+t2=t3 A.①② B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤ 思路解析：此题综合考查学生的识图能力及指数函数的性质. 由图形得函数解析式应为y=2x〔x≥0〕. 答案：D 7.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示： 十进制 1 2 3 4 5 6 7 8 … 二进制 1 10 11 100 101 110 111 1 000 … 观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制数；当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是_________. 思路解析：此题考查学生的观察能力、归纳总结能力.通过观察图表： 二进制为1位数时，十进制的最大数为1=21-1； 二进制为2位数时，十进制的最大数为3=22-1； 二进制为3位数时，十进制的最大数为7=23-1. 依次类推，二进制为6位数时，十进制的最大数为26-1. 答案：26-1 8.求函数y=f〔x〕=〔〕x-〔〕x+1，x∈［-3，2］的值域. 思路解析：将〔〕x看作一个未知量t，把原函数转化为关于t的二次函数求解. 解：∵f〔x〕=［〔〕x］2-〔〕x+1，x∈［-3，2］， ∴〔〕2≤〔〕x≤〔〕-3， 即≤〔〕x≤8. 设t=〔〕x，那么≤t≤8. 将函数化为f〔t〕=t2-t+1，t∈［，8］. ∵f〔t〕=〔t-〕2+， ∴f〔〕≤f〔t〕≤f〔8〕.∴≤f〔t〕≤57. ∴函数的值域为［，57］. 0，那么经过一定时间t后的温度T将满足T-Tα=〔T0-Tα〕·〔，其中Tα是环境温度.使上式成立所需要的时间h称为半衰期. 现有一杯用195°热水冲的速溶咖啡放置在75°的房间中，如果咖啡降温到105°需20 min，问欲降温到95°需多少时间？ 思路解析：由所给公式知它是时间t与温度T的指数函数关系，将题中有关数据代入求得h值.再将T=95代入已求得的T=f〔t〕中求得t. 解：由题意，知T=Tα+〔T0-Tα〕.将有关数据代入，得T=75+〔195-75〕·.这里h是以分钟为单位的半衰期，为了确定它的值，将t=20时，T=105代入，此时，105=75+〔195-75〕·，解得h=10. ∴T=75+〔195-75〕·. 〔x〕 欲使T=95，代入〔x〕式，得95=75+〔195-75〕·，即=. 两边取对数，查表得=2.6，即t=26〔 min〕.因此，在咖啡冲好26 min之后降温至95°. 10.f〔x〕=x〔+〕. 〔1〕判断函数的奇偶性； 〔2〕证明f〔x〕>0. 思路解析：此题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式. 〔1〕解：函数的定义域为{x|x≠0}. f〔-x〕=-x·=-x·=x·=f〔x〕， ∴函数为偶函数. 〔2〕