2023年全国乙卷数学（文科）高考真题试卷（含答案）.docx

2023年普通高等学校招生全国统一考试〔全国乙卷〕 文科数学 考前须知： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．答复选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 1．集合，那么〔 〕 A． B． C． D． 2．设，其中为实数，那么〔 〕 A． B． C． D． 3．向量，那么〔 〕 A．2 B．3 C．4 D．5 4．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长〔单位：h〕，得如下茎叶图： 那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4 D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6 5．假设x，y满足约束条件那么的最大值是〔 〕 A． B．4 C．8 D．12 6．设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，假设，那么〔 〕 A．2 B． C．3 D． 7．执行右边的程序框图，输出的〔 〕 A．3 B．4 C．5 D．6 8．右图是以下四个函数中的某个函数在区间的大致图像，那么该函数是〔 〕 A． B． C． D． 9．在正方体中，分别为的中点，那么〔 〕 A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 10．等比数列的前3项和为168，，那么〔 〕 A．14 B．12 C．6 D．3 11．函数在区间的最小值、最大值分别为〔 〕 A． B． C． D． 12．球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，那么当该四棱锥的体积最大时，其高为〔 〕 A． B． C． D． 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。 13．记为等差数列的前n项和．假设，那么公差_______． 14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区效劳工作，那么甲、乙都入选的概率为________． 15．过四点中的三点的一个圆的方程为______． 16．假设是奇函数，那么_____，______． 三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 〔一〕必考题：共60分。 17．〔12分〕 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐． 〔1〕假设，求C； 〔2〕证明：. 18．〔12分〕 如图，四面体中，，E为AC的中点． 〔1〕证明：平面平面ACD； 〔2〕设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 19．〔12分〕某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积〔单位：〕和材积量〔单位：〕，得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得，，． 〔1〕估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 〔2〕求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数〔精确到0.01〕； 〔3〕现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数，． 20．〔12分〕函数． 〔1〕当时，求的最大值； 〔2〕假设恰有一个零点，求a的取值范围． 21．〔12分〕椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． 〔1〕求E的方程； 〔2〕设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段交于点T，点H满足，证明：直线过定点． 〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]〔10分〕 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为〔t为参数〕．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为． 〔1〕写出l的直角坐标方程； 〔2〕假设l与C有公共点，求m的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲]〔10分〕 a，b，c都是正数，且，证明： 〔1〕； 〔2〕． 2023年普通高等学校招生全国统一考试〔全国乙卷〕 文科数学参考答案 一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分. 1. A 2. A 3. D 4. C 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A 10. D 11. D 12. C 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分． 13. 2 14.##0.3 15.或或或； 16. ①. ； ②. ． 三、解答题：共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17. 〔1〕； 〔2〕由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 18. 【小问1详解】 由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. 【小问2详解】 依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小值. 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以 过作，垂足为，那么，所以平面，且， 所以, 所以. 19. 〔1〕； 〔2〕 〔3〕 20. 〔1〕 〔2〕 21. 〔1〕 〔2〕 【小问1详解】 解：设椭圆E的方程为，过， 那么，解得，， 所以椭圆E的方程为：. 【小问2详解】 ，所以， ①假设过点的直线斜率不存在，直线.代入， 可得，，代入AB方程，可得 ，由得到.求得HN方程： ，过点. ②假设过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，， 且 联立可得 可求得此时， 将，代入整理得， 将代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. [选修4—4：坐标系与参数方程] 22. 〔1〕 〔2〕 [选修4—5：不等式选讲] 23. 【小问1详解】 证明：因为，，，那么，，， 所以， 即，所以，当且仅当，即时取等号． 【小问2详解】 证明：因为，，， 所以，，， 所以，， 当且仅当时取等号