2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版16.docx

1996年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10月13日上午8：00－9：20) 一、选择题(此题总分值36分，每题6分) 1． 把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。那么πn(n∈Nx)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 3． 存在整数n,使+是整数的质数p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 4． 设x∈(－，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1 5． 如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4++ (B) 4－+ (C) 1－+ (D)以上答案都不对 6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题(此题总分值54分，每题9分) 1． 集合{x|－1≤log10<－，x∈Nx}的真子集的个数是 ． 2． 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，那么z2=_______． 3． 曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，那么它扫过的图形的面积是_______． 4． 将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，那么最远的两顶点间的距离是________． 5． 从给定的六种不同颜色中选用假设干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。那么不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．) 6． 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________． 第二试 一、（此题总分值25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn }满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，…)．求数列{bn }的前n项和． 二、（此题总分值25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0，]，恒有 （x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥． 三、（此题总分值35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。 E F A B C G H P O1。 。O2 四、（此题总分值35分）有n(n≥6)个人聚会，： （1）每人至少同其中个人互相认识； （2）对于其中任意个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识． 证明：这n个人中必有三人两两认识． 1996年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(此题总分值36分，每题6分) 1． 把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，Þ8y2－20y+8=0，Þy=2或，相应的，x=0，或x=±． 此三点连成一个正三角形．选C． 2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。那么πn(n∈Nx)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较： 又，=15363´()66－36>1，=1536´()78－66<1．应选C． 3． 存在整数n,使+是整数的质数( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 解：如果p为奇质数，p=2k+1，那么存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．应选D． 4． 设x∈(－,0)，以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( ) (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1 解：α1= cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除B、D． ∵ sin|x|π+ cos|x|π=sin(|x|π+)<，于是cos|x|π<－sin|x|π， ∴ sin(cos|x|π)<cos(sin|x|π)，故α2<α1，选A． 又解：取x=－，那么α1=cos，α2=sin，α3=cosπ<0．由于<<，故α1>α2． 5． 如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4++ (B) 4－+ (C) 1－+ (D)以上答案都不对 解：g(x)= x+=x+x+≥3=．当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值． ∴－=，=，Þp=－2，q=+． 由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－+．应选B． 6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？ 右图中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．应选B． 二、填空题(此题总分值54分，每题9分) 1． 集合{x|－1≤log10<－，x∈Nx}的真子集的个数是 ． 解 由，得<logx10≤1Þ1≤lgx<2Þ10≤x<100．故该集合有90个元素．其真子集有290-1个． 2． 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1的辐角主值为，那么z2=_______． 解：z1满足|z－i|=1；argz1=，得z1=+i，=cos(－)+isin(－)． 设z2的辐角为θ(0<θ<π)，那么z2=2sinθ(cosθ+isinθ)．·z2=2sinθ[cos(θ－)+isin(θ－)]，假设其实部为0，那么θ－=，于是θ=．z2=－+i． 3． 曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，那么它扫过的图形的面积是_______。 解：只要考虑|AP|最长与最短时所在线段扫过的面积即可． 设P(1+cosθ，θ)， 那么|AP|2=22+(1+cosθ)2－2·2(1+cosθ)cosθ=－3cos2θ－2cosθ+5 =－3(cosθ+)2+≤．且显然|AP|2能取遍[0，]内的一切值，故所求面积=π． 4． 将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，那么最远的两顶点间的距离是________。 解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a，侧棱为b． 取CD中点G，那么AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，作平面BDF⊥棱AC交AC于F，那么∠BFD为二面角B—AC—D的平面角． AG=EG=，BF=DF=，AE=2=2． 由cos∠AGE=cos∠BFD，得=． ∴ =Þ9b2=16a2，Þb=a，从而b=2，2a=3． AE=2．即最远的两个顶点距离为3． 5． 从给定的六种不同颜色中选用假设干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。那么不同的染色方法共有_______种。(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。) 解：至少3种颜色： 6种颜色全用：上面固定用某色，下面可有5种选择，其余4面有(4－1)!=6种方法，共计30种方法； 用5种颜色：上下用同色：6种方法，选4色：C(4－1)! =30；6×30÷2=90种方法；． 用4种颜色：CC=90种方法． 用3种颜色：C=20种方法． ∴共有230种方法． 6． 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________． 解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数． 显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99． 那么得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n) (mod 4) 由于m为正整数，m2≡0，1 (mod 4)；(n－1)(－n)≡ 二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解． ∴ 共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)． 第二试 一、（此题总分值25分） 设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn }满足b1=3，bk+1=ak+bk（k=1，2，…)．求数列{bn }的前n项和． 解：a1=2a1－1，a1=1； an=(2an－1)－(2an－1－1)=2an－2an－1，Þan=2an－1．Þ{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．an=2n－1． b