2023年高考江苏卷word版数学（含附加题）试题全解析高中数学.docx

绝密★启用前学科网 2023年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕学科网 数学Ⅰ试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本本卷须知及各题答题要求 1.本试卷共4页，包含填空题〔第1题——第14题〕、解答题〔第15题——第20题〕。本卷总分值160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。 5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 学科网 参考公式：学科网 样本数据的方差学科网 一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.学科网 1.假设复数其中是虚数单位，那么复数的实部为 ▲ 。 [解析]考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。 -20 2.向量和向量的夹角为，，那么向量和向量的数量积= ▲。 [解析] 考查数量积的运算。 3.函数的单调减区间为 ▲ .学科网 [解析] 考查利用导数判断函数的单调性。 ， 由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。 4.函数〔为常数，〕在闭区间上的图象如以下图，那么= ▲ .学科网 [解析] 考查三角函数的周期知识。 ，，所以， 5.现有5根竹竿，它们的长度〔单位：m〕分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，假设从中一次随机抽取2根竹竿，那么它们的长度恰好相差0.3m的概率为 ▲ .学科网 [解析] 考查等可能事件的概率知识。 从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，它们的长度恰好相差0.3m的事件数为2，分别是：2.5和2.8，2.6和2.9，所求概率为0.2。 6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学科网 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 那么以上两组数据的方差中较小的一个为= ▲ .学科网 [解析] 考查统计中的平均值与方差的运算。 甲班的方差较小，数据的平均值为7， 故方差 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的 ▲ .学科网 [解析] 考查读懂算法的流程图的能力。 22 8.在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1：2，那么它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1：2，那么它们的体积比为 ▲ . [解析] 考查类比的方法。 体积比为1：8 9.在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为 ▲ .学科网 [解析] 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内， 点P的坐标为〔-2，15〕 10.，函数，假设实数、满足，那么、的大小关系为 ▲ .学科网 [解析] 考查指数函数的单调性。 ，函数在R上递减。由得：m<n 11.集合，假设那么实数的取值范围是，其中= ▲ .学科网 [解析] 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。 由得，；由知，所以4。 12.设和为不重合的两个平面，给出以下命题：学科网 〔1〕假设内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，那么平行于； 〔2〕假设外一条直线与内的一条直线平行，那么和平行； 〔3〕设和相交于直线，假设内有一条直线垂直于，那么和垂直； 〔4〕直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。 上面命题中，真命题的序号 ▲ 〔写出所有真命题的序号〕.学科网 [解析] 考查立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。 真命题的序号是(1)(2) 13．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，那么该椭圆的离心率为 ▲ .学科网 学科网 学科网 [解析] 考查椭圆的根本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。 直线的方程为：； 直线的方程为：。二者联立解得：， 那么在椭圆上， ， 解得： 14．设是公比为的等比数列，，令，假设数列有连续四项在集合中，那么= ▲ .学科网 [解析] 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.学科网 15．〔本小题总分值14分〕学科网 设向量学科网 〔1〕假设与垂直，求的值；学科网 〔2〕求的最大值;学科网 〔3〕假设，求证：∥..网 [解析] 本小题主要考查向量的根本概念，同时考查同角三角函数的根本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得根本能力。总分值14分。 16．〔本小题总分值14分〕学科网 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，。学科网 求证：〔1〕EF∥平面ABC； 〔2〕平面平面. [解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力。总分值14分。 17．〔本小题总分值14分〕学科网 设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。学 〔1〕求数列的通项公式及前项和；学科网 〔2〕试求所有的正整数，使得为数列中的项。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。总分值14分。 〔1〕设公差为，那么，由性质得，因为，所以，即，又由得，解得，, (2) 〔方法一〕=,设， 那么=, 所以为8的约数 〔方法二〕因为为数列中的项， 故为整数，又由〔1〕知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。 18．〔本小题总分值16分〕学科网 在平面直角坐标系中，圆和圆. 〔1〕假设直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； 〔2〕设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。 [解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。总分值16分。 (1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离， 结合点到直线距离公式，得： 化简得： 求直线的方程为：或，即或 (2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： ，即： 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：， 化简得： 关于的方程有无穷多解，有： 解之得：点P坐标为或。 19.(本小题总分值16分)学科网 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件本钱为元，如果他卖出该产品的单价为元，那么他的满意度为；如果他买进该产品的单价为元，那么他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和，那么他对这两种交易的综合满意度为.学科网 现假设甲生产A、B两种产品的单件本钱分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件本钱分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为元和元，甲买进A与卖出B的综合满意度为，乙卖出A与买进B的综合满意度为学科.网 (1)求和关于、的表达式；当时，求证：=；学科网 (2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？学科网 (3)记(2)中最大的综合满意度为，试问能否适中选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。学科网 [解析] 本小题主要考查函数的概念、根本不等式等根底知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。总分值16分。 (1) 当时，, , = 〔2〕当时， 由， 故当即时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。 〔3〕〔方法一〕由〔2〕知：= 由得：， 令那么，即：。 同理，由得： 另一方面， 当且仅当，即=时，取等号。 所以不能否适中选取、的值，使得和同时成立，但等号不同时成立。 20．(本小题总分值16分)学科网 设为实数，函数.学科网 (1)假设，求的取值范围；学科网 (2)求的最小值；学科网 (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等根底知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。总分值16分 〔1〕假设，那么 〔2〕当时， 当时， 综上 〔3〕时，得， 当时，； 当时，△>0,得： 讨论得：当时，解集为; 当时，解集为; 当时，解集为. 数学Ⅱ〔附加题〕 参考公式： 21.[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A.选修4 - 1：几何证明选讲 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD. [解析] 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识，考查推理论证能力。总分值10分。 证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。 B. 选修4 - 2：矩阵与变换 求矩阵的逆矩阵. [解析] 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。总分值10分。 解：设矩阵A的逆矩阵为那么 即故 解得：， 从而A的逆矩阵为. C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程 曲线C的参数方程为〔为参数，〕. 求曲线C的普通方程。 [解析] 本小题主要考查参数方程和普通方程的根本知识，考查转化问题的能力。总分值10分。 解：因为所以 故曲线C的普通方程为：. D. 选修4 - 5：不等式选讲 设≥＞0,求证：≥. [解析] 本小题主要考查比拟法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力。总分值10分。 证明： 因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0， 即≥. [必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22.〔此题总分值10分〕 在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A〔2，2〕，其焦点F在轴上。 〔1〕求抛物线C的标准方程； 〔2〕求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程； 〔3〕设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。 [解析] [必做题]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等根本知识，考查运算求解能力。总分值10分。 23. 〔此题总分值10分〕 对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中〔和可以相等〕；对于随机选取的〔和可以相等〕，记为关于的一元二次方程有实数根的概率