2023年高考试题数学理（湖南卷）word版高中数学2.docx

2023年普通高等等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学〔理工农医类〕 一、 选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 1． 假设a＜0，＞1，那么 (D) A．a＞1,b＞0 B．a＞1,b＜0 C. 0＜a＜1, b＞0 D. 0＜a＜1, b＜0 2．对于非0向时a,b,“a//b〞确实良 〔A〕 A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．将函数y=sinx的图象向左平移0 ＜2的单位后，得到函数y=sin的图象，那么等于 〔D〕 A． B． C. D. 4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 那么 [ B] A B C D 5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m [ C] A 85 B 56 C 49 D 28 6. D是由不等式组，所确定的平面区域，那么圆 在区域D内 的弧长为 [ B] A B C D 7．正方体ABCD—的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为〔C〕 A．2 B．3 C. 4 D. 5 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8.设函数在〔，+〕内有定义。对于给定的正数K，定义函数 取函数=。假设对任意的，恒有=，那么w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．K的最大值为2 B. K的最小值为2 C．K的最大值为1 D. K的最小值为1 【D】 二、填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 10．在的展开式中，的系数为___7__(用数字作答) 11、假设x∈(0, )那么2tanx+tan(-x)的最小值为2. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12、以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，那么双曲线C的离心率为 13、一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，B层中甲、乙都被抽到的概率为，那么总体中的个数数位 50 。 14、在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，那么w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔1〕球心到平面ABC的距离为 12 ； 〔2〕过Ａ，B两点的大圆面为平面ABC所成二面角为〔锐角〕的正切值为 3 15、将正⊿ABC分割成〔≥2，n∈N〕个全等的小正三角形〔图2，图3分别给出了n=2,3的情形〕，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三普及平行于某边的任一直线上的数〔当数的个数不少于3时〕都分别一次成等差数列，假设顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，那么有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.〔本小题总分值12分〕 在，，求角A，B，C的大小。 解：设 由得，所以 又因此 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得，于是 所以，，因此 ，既 由A=知，所以，，从而 或，既或故 或。 17.〔本小题总分值12分〕 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为根底设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含工程的个数分别占总数的.、、，现在3名工人独立地从中任选一个工程参与建设。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔I〕求他们选择的工程所属类别互不相同的概率； 〔II〕记为3人中选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望。 解:记第1名工人选择的工程属于根底设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,，i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，,,〔i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同〕相互独立，且P〔〕=，P〔〕=，P〔〕= （1） 他们选择的工程所属类别互不相同的概率 P=3！P〔〕=6P〔〕P〔〕P〔〕=6= (2) 解法1 设3名工人中选择的工程属于民生工程的人数为，由己，-B〔3，〕，且=3。 所以P〔=0〕=P〔=3〕==， P〔=1〕=P〔=2〕= = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m P〔=2〕=P〔=1〕== P〔=3〕=P〔=0〕= = 故的分布是 0 1 2 3 P 的数学期望E=0+1+2+3=2 解法2 第i名工人选择的工程属于根底工程或产业工程分别为事件， i=1,2,3 ，由此，·D，相互独立，且 P〔〕-〔，〕= P〔〕+P〔〕=+= 所以--,既， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故的分布列是 1 2 3 18.〔本小题总分值12分〕 如图4，在正三棱柱中， D是的中点，点E在上，且。 （I） 证明平面平面 （II） 求直线和平面所成角的正弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解 〔I〕 如以下图，由正三棱柱的性质知平面 又DE平面ABC，所以DEAA. 而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。 〔2〕解法1 如以下图，设F使AB的中点，连接DF、DC、CF，由正三棱柱ABC- ABC的性质及D是AB的中点知ABCD， ABDF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又CDDF=D，所以AB平面CDF， 而AB∥AB，所以 AB平面CDF，又AB平面ABC，故 平面AB C平面CDF。 过点D做DH垂直CF于点H，那么DH平面AB C。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 连接AH，那么HAD是AD和平面ABC所成的角。 由AB=A A，不妨设A A=，那么AB=2，DF=，D C=， CF=，AD==，DH==—， 所以 sinHAD==。 即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。 解法2 如以下图，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设 A A=，那么AB=2，相关各点的坐标分别是 A(0,-1,0)， B〔，0，0〕， C〔0，1，〕， D〔，-，〕。 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，〕w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设平面ABC的法向量为n=〔x，y，z〕,那么有 解得x=-y， z=-， 故可取n=(1，-，)。 所以，(n·)===。 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。 19.〔本小题总分值13分〕 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 〔Ⅰ〕试写出关于的函数关系式； 〔Ⅱ〕当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？ 解 〔Ⅰ〕设需要新建个桥墩， 所以 〔Ⅱ〕 由〔Ⅰ〕知， 令，得，所以=64 当0<<64时<0， 在区间〔0，64〕内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，>0. 在区间〔64，640〕内为增函数， 所以在=64处取得最小值，此时， 故需新建9个桥墩才能使最小。 20〔本小题总分值13分〕 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F〔3，0〕的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 〔Ⅰ〕求点P的轨迹C； 〔Ⅱ〕设过点F的直线I与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。 解〔Ⅰ〕设点P的坐标为〔x，y〕，那么3︳x-2︳ 由题设 当x>2时，由①得 化简得 当时 由①得 化简得 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧局部与抛物线在直线x=2的左侧局部〔包括它与直线x=2的交点〕所组成的曲线，参见图1 〔Ⅱ〕如图2所示，易知直线x=2与，的交点都是A〔2，〕， B〔2，〕，直线AF，BF的斜率分别为=，=. 当点P在上时，由②知 . ④ 当点P在上时，由③知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑤ 假设直线l的斜率k存在，那么直线l的方程为 〔i〕当k≤，或k≥，即k≤-2 时，直线I与轨迹C的两个交点M〔，〕，N〔，〕都在C 上，此时由④知 ∣MF∣= 6 - ∣NF∣= 6 - w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= 〔6 - 〕+ 〔6 - 〕=12 - ( +) 由 得 那么，是这个方程的两根，所以+=x∣MN∣=12 - 〔+〕=12 - 因为当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当且仅当时，等号成立。 〔2〕当时，直线L与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点上，那么④⑤知， 设直线AF与椭圆的另一交点为E 所以。而点A，E都在上，且 有〔1〕知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 假设直线的斜率不存在，那么==3，此时 综上所述，线段MN长度的最大值为 21.〔本小题总分值13分〕 对于数列假设存在常数M＞0,对任意的，恒有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 那么称数列为B-数列 （1） 首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; 请以其