2023年新课标高考数学理科试题分类精编17双曲线高中数学.docx

202323年-2023年新课标高考数学〔理科〕试题分类精编 第17局部-双曲线 一.选择题 1.〔2023年全国理12〕双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,那么的方程式为 (A) (B) (C) (D) 【答案】B 解析：由条件易得直线的斜率为，设双曲线方程为，，那么有，两式相减并结合得，，从而，即，又，解得，应选B． 2.〔2023年天津理5〕. 双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，那么双曲线的方程为 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 【答案】B【解析】因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，所以F〔-6，0〕是双曲线的左焦点，即，又双曲线的一条渐近线方程是， 所以，解得，，所以双曲线的方程为， 3.( 2023年福建理7)假设点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,那么的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为是双曲线的左焦点，所以，即， 所以双曲线方程为，设点P，那么有， 解得，因为，， 所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。 【命题意图】此题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对根底知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 4.( 2023年辽宁理9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) (B) (C) (D) 【答案】D【命题立意】此题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。 【解析】设双曲线方程为，那么F〔c,0〕,B(0,b) 直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac 所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或〔舍去〕 5.( 2023年安徽理5)双曲线方程为，那么它的右焦点坐标为 A、 B、 C、 D、 C【解析】双曲线的，，，所以右焦点为. 【误区警示】此题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用求出c即可得出交点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为或，从而得出错误结论. 6.〔2023年浙江理8〕设、分别为双曲线的左、右焦点.假设在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，那么该双曲线的渐近线方程为 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，此题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 7.〔2023年海南理4〕双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为 〔A〕 〔B〕2 〔C〕 〔D〕1 解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A 8.(2023年山东理9) 设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，那么双曲线的离心率为( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. B. 5 C. D. 【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=, 所以,,应选D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】此题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,那么解方程组有唯一解.此题较好地考查了根本概念根本方法和根本技能. 9.〔2023年安徽理3〕以下曲线中离心率为的是高.考.资.源.网 〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕高.考.资.源.网 [解析]由得，选B 10.(2023年浙江理9)过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．假设，那么双曲线的离心率是( ) A． B． C． D． C 【解析】对于，那么直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，那么有，因． 二.填空题 1.(2023年上海理13)如以下图，直线x=2与双曲线的渐近线交于,两点，记，任取双曲线上的点P，假设，那么a、b满足的一个等式是 解析： =，点P在双曲线上 ，化简得4ab=1 2.〔2023年北京理13〕双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦 点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 解析：双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为，又双曲线离心率为2，即，故，渐近线为 3.(2023年江苏6)在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，那么M到双曲线右焦点的距离是___▲_______ 【答案】4 [解析]考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。 A y x F E P OX 4. (2023年辽宁理16)F是双曲线的左焦点，定点A〔1，4〕， P是双曲线右支上的动点，那么的最小值为_________。 [解析]9 设双曲线的右焦点为E，那么， ，当A、P、E共线时， ，的最小值为9。 5.(2023年海南理14)设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，那么△AFB的面积为　　　　　　． 解：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为， 建立方程组，得交点纵坐标，从而 6.(202323年海南理13)双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线 的距离为6，那么该双曲线的离心率为　　　　　． 【答案】：3【分析】：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别 向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C， 那么： 三.解答题 1. (2023年广东理20)〔本小题总分值为14分〕 一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2，点，是双曲线上不同的两个动点。 〔1〕求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式； 〔2〕假设过点H(0, h)〔h>1〕的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且 ,求h的值。 故，即。 〔2〕设，那么由知，。将代入得 ，即， 由与E只有一个交点知，，即[来源:学.科.网][来源。 同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而 ，即。 2.(2023年陕西理21)〔本小题总分值12分〕 双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。 〔I〕求双曲线C的方程； (II)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，假设，求面积的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解答一〔Ⅰ〕由题意知，双曲线C的顶点到渐近线∴ 由 得 ∴双曲线C的方程为 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知双曲线C的两条渐近线方程为设 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由得P点的坐标为 将P点坐标代入化简得 设∠AOB 又 记由 当时，△AOB的面积取得最小值2，当时，△AOB的面积取得最大值∴△AOB面积的取值范围是 解答二〔Ⅰ〕同解答一 〔Ⅱ〕设直线AB的方程为由题意知 由{ 得A点的坐标为 由{ 得B点的坐标为由得P点的坐标为 将P点坐标代入 设Q为直线AB与y轴的交点，那么Q点的坐标为〔0，m〕. = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下同解答一. 3.(2023年上海理21)〔此题总分值16分〕 此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值8分。 双曲线设过点的直线l的方向向量 （1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； （2） 证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。 解21.〔1〕双曲线C的渐近线 直线l的方程………………..6分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 直线l与m的距离……….8分 〔2〕设过原点且平行与l的直线 那么直线l与b的距离当 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又双曲线C的渐近线为 双曲线C的右支在直线b的右下方， 双曲线右支上的任意点到直线的距离为。 故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。 [ 证法二] 双曲线的右支上存在点到直线的距离为， 那么由〔1〕得， 设 当，0………………………………..13分 将 代入〔2〕得 〔x〕 方程〔x〕不存在正根，即假设不成立w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为…………….16分 4.(2023年上海理18)(6’+9’) 双曲线，为上的任意点。 〔1〕求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； 〔2〕设点的坐标为，求的最小值； 【解析】〔1〕设是双曲线上任意一点， 该双曲的两条渐近线方程分别是和. ……2分 点到两条渐近线的距离分别是和， ……4分 它们的乘积是. 点到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. ……6分 〔2〕设的坐标为，那么 …8分 ……11分 ，13分 当时，的最小值为，即的最小值为. 15分