温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,汇文网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:3074922707
2023
年高
数学
均值
不等式
求最值
常用
技巧
指导
用均值不等式求最值的常用技巧
杨清泉
均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件:一正、二定、三相等,缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性,需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧,可以更好地使用均值不等式求最值。
1. 凑系数
例1 当时,求的最大值。
利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题是积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故需将“x〞项凑上一个系数即可。
解:由,知,当且仅当时取等号。其最大值是8。
点评:此题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项
例2 求的最值。
分析:由题意知,首先要调整符号,而不是定值,需对进行凑项才能得到定值,然后用均值不等式。
解:∵,
∴,即。
,当且仅当,即时等号成立。
∴函数有最大值。
3. 别离
例3 经过长期观测可知,在交通繁忙的时段内,某路段汽车的车流量〔千辆/小时〕与 汽车的平均速度〔千米/小时〕之间的函数关系式为。
在该时段内,当汽车的平均速率为多大时车流量最大?最大车流量为多少?〔精确到0.1千辆/小时〕
分析:只要把分子上的变量别离出来,转化到分母上就可以用均值不等式求解。
解:依题意得:
。
当且仅当,即时,上式等号成立。
∴当时,〔千辆/小时〕。
4. 平方
例4 求函数的最大值。
分析:注意到与的和为定值,只要对解析式两边取平方,即可用均值不等式求解。
解:。
当且仅当,即时取等号。
又,可知,故。
5. 统一
例5 正数,满足,求的最大值。
分析:把所求式的变量x都移到根号里,同时凑系数满足条件使和为常数,用均值不等式求积的最大值。
解:∵,
∴。
∴。
当且仅当且时等号成立,又因,为正值,可解得,时等号成立。故有最大值为。
6. 代换
例6 正数、满足,求的最小值。
分析:将看作,1用条件整体代换,可用均值不等式求解。
解:。
由题意知,当且仅当且时等号成立,又因、为正数,解得,,故最小值是18。
7. 构造
例7 ,求的最小值。
分析:注意到所求式子的分母满足,将其整体代入所求式子,即可用均值不等式求解。
解:∵,
∴。
∵,
∴
当且仅当,即时等号成立。
故的最小值为25。
年级
高中
学科
数学
版本
期数
内容标题
用均值不等式求最值的常用技巧
分类索引号
分类索引描述
辅导与自学
主题词
用均值不等式求最值的常用技巧
栏目名称
学法指导
供稿老师
审稿老师
录入
赵真真
一校
吴启瑞
二校
审核