2023年高中数学用均值不等式求最值的常用技巧学法指导.docx

用均值不等式求最值的常用技巧 杨清泉 均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件：一正、二定、三相等，缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性，需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧，可以更好地使用均值不等式求最值。 1. 凑系数 例1 当时，求的最大值。 利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题是积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故需将“x〞项凑上一个系数即可。 解：由，知，当且仅当时取等号。其最大值是8。 点评：此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 2. 凑项 例2 求的最值。 分析：由题意知，首先要调整符号，而不是定值，需对进行凑项才能得到定值，然后用均值不等式。 解：∵， ∴，即。 ，当且仅当，即时等号成立。 ∴函数有最大值。 3. 别离 例3 经过长期观测可知，在交通繁忙的时段内，某路段汽车的车流量〔千辆/小时〕与 汽车的平均速度〔千米/小时〕之间的函数关系式为。 在该时段内，当汽车的平均速率为多大时车流量最大？最大车流量为多少？〔精确到0.1千辆/小时〕 分析：只要把分子上的变量别离出来，转化到分母上就可以用均值不等式求解。 解：依题意得： 。 当且仅当，即时，上式等号成立。 ∴当时，〔千辆/小时〕。 4. 平方 例4 求函数的最大值。 分析：注意到与的和为定值，只要对解析式两边取平方，即可用均值不等式求解。 解：。 当且仅当，即时取等号。 又，可知，故。 5. 统一 例5 正数，满足，求的最大值。 分析：把所求式的变量x都移到根号里，同时凑系数满足条件使和为常数，用均值不等式求积的最大值。 解：∵， ∴。 ∴。 当且仅当且时等号成立，又因，为正值，可解得，时等号成立。故有最大值为。 6. 代换 例6 正数、满足，求的最小值。 分析：将看作，1用条件整体代换，可用均值不等式求解。 解：。 由题意知，当且仅当且时等号成立，又因、为正数，解得，，故最小值是18。 7. 构造 例7 ，求的最小值。 分析：注意到所求式子的分母满足，将其整体代入所求式子，即可用均值不等式求解。 解：∵， ∴。 ∵， ∴ 当且仅当，即时等号成立。 故的最小值为25。 年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 用均值不等式求最值的常用技巧 分类索引号 分类索引描述 辅导与自学 主题词 用均值不等式求最值的常用技巧 栏目名称 学法指导 供稿老师 审稿老师 录入 赵真真 一校 吴启瑞 二校 审核