2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛高中数学.docx

2023年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛 试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设7分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。 一、填空题〔此题总分值56分，每题7分。〕 1．复数满足，那么 0 ． 2．设，，那么的值域为． 3．设等差数列的前n项和为，假设，那么中最大的是． 4．O是锐角△ABC的外心，，假设，且，那么． 5．正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．那么四面体的体积为． 6．设，且，，那么符合条件的共有 1600 组．〔注：顺序不同视为不同组．〕 7．设，那么的最小值为． 8．设p是给定的正偶数，集合的所有元素的和是． 二、解答题〔此题总分值64分，第9题14分，第10题15分，第11题15分，第12题20分。〕 9．设数列满足，，其中． 〔1〕证明：对一切，有； 〔2〕证明：． 证明 〔1〕在关系式中，令，可得； 令，可得 ① 令，可得 ② 由①得，，，， 代入②，化简得． ------------------------------------------7分 〔2〕由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此． 于是． 因为，所以 ． ------------------------------------------14分 10．求不定方程的正整数解的组数． 解 令，，，那么． 先考虑不定方程满足的正整数解． ，，．----------------------------------5分 当时，有，此方程满足的正整数解为． 当时，有，此方程满足的正整数解为． 所以不定方程满足的正整数解为 ． ------------------------------------------10分 又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为 ． ------------------------------------------15分 11．抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点． (1)证明：直线AB恒过定点Q； (2)假设点P与〔1〕中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：． 证明 (1)设，那么． 由得，所以． 于是抛物线C在A点处的切线方程为，即． 　　设，那么有． 　　设，同理有． 所以AB的方程为，即， 所以直线AB恒过定点． ------------------------------------------7分 (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得 ． 设，，那么 ① 要证，只需证明，即 ② 由①知， ②式左边= ． 故②式成立，从而结论成立． ------------------------------------------15分 12．设为正实数，且．证明： ． 证明 因为，要证原不等式成立，等价于证明 ① ----------------5分 事实上， ②----------------10分 由柯西不等式知 ③----------------15分 又由知 ④ 由②，③，④，可知①式成立，从而原不等式成立． ------------------------------------20分