2023年高考数学考点预测5圆锥曲线与方程doc高中数学.docx

2023高考数学考点预测 圆锥曲线与方程 一、考点介绍 1.椭圆的定义： 第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线,常数叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质： 标准方程 图形 顶点 , , 对称轴 轴，轴，长轴长为，短轴长为 焦点 、 、 焦距 焦距为 离心率 (0<e<1) 准线方程 3.椭圆知识网络 4.双曲线的定义： 第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数叫做双曲线的离心率. 5.双曲线的标准方程及其几何性质： 标准方程 图形 顶点 对称轴 轴，轴，实轴长为，虚轴长为 焦点 焦距 焦距为 离心率 (e>1) 准线方程 6.双曲线知识网络 7.抛物线的定义: 平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点F不在上).定点F叫做抛物线的焦点, 定直线叫做抛物线的准线. 8.抛物线的标准方程及其几何性质： 标准方程 图形 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点 顶点 原点 准线 离心率 1 9.抛物线知识网络 10.方程的曲线和曲线的方程 在直角坐标系中，如果某曲线（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线. 11. 圆锥曲线综合问题 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是、、. ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为,那么它的弦长 上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为，运用韦达定理来进行计算. 当直线斜率不存在是,那么. 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算； 2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法； 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围,二是建立不等式，通过解不等式求范围. 二、高考真题 1. （2023年北京卷，文科，19） 椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且 （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）假设直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程. 〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义及勾股定理求出a,b,c的值即可，（Ⅱ）可以设出A、B点的坐标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方程，也可以利用“点差法〞求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 〖答案〗解法一： (Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以，a=3. 在Rt△PF1F2中，故椭圆的半焦距c=, 从而b2=a2－c2=4, 所以椭圆C的方程为＝1. (Ⅱ)设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以 解得， 所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意) 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因为A、B关于点M对称， 所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝， 即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－1＝（x+2）， 即8x－9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.) 2．（2023年上海卷，文科，21） 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆〞，其中，，． 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆〞 与，轴的交点，是线段的中点． y O . . . M x . （1）假设是边长为1的等边三角形，求该 “果圆〞的方程； （2）设是“果圆〞的半椭圆 上任意一点．求证：当取得最小值时， 在点或处； （3）假设是“果圆〞上任意一点，求取得最小值时点的横坐标． 〖解析〗（1）求出两个半椭圆的方程即可得到“果圆〞的方程，（2）由两点间的距离公式表示出PM的长，根据二次函数的性质即可求出最小值，（3）思路同（2），只需分两种情况讨论即可. 〖答案〗（1） ， ， 于是， 所求“果圆〞方程为，． （2）设，那么 ， ， 的最小值只能在或处取到． 即当取得最小值时，在点或处． （3），且和同时位于“果圆〞的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆〞的半椭圆上的情形即可． ． 当，即时，的最小值在时取到， 此时的横坐标是． 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． 综上所述，假设，当取得最小值时，点的横坐标是；假设，当取得最小值时，点的横坐标是或． 3．（2023年山东卷，理科，21） 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）假设直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 〖解析〗（Ⅰ）由易求出a，c的值，即得椭圆方程，（Ⅱ）由待定系数法设出直线方程，联立椭圆方程后由可以得到关于k和m的方程，求出满足的k和m的关系式后即可得到过定点的直线方程. 〖答案〗(I)由题意设椭圆的标准方程为 ， (II)设，由得 ， ，. 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点， ，， ， ，解得 ，且满足. 当时，，直线过定点与矛盾； 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 4．（2023年湖南卷，文科，19） 椭圆的中心在原点，一个焦点是，且两条准线间的距离为. （I）求椭圆的方程； （II）假设存在过点A（1，0）的直线，使点F关于直线的对称点在椭圆上， 求的取值范围. 〖解析〗（I）椭圆方程由a，b，c的关系易得，（II）设出直线的方程，求出点F关于直线的对称点，代入椭圆方程解关于的不等式组即得的取值范围. 〖答案〗（I）设椭圆的方程为 由条件知且所以 故椭圆的方程是 （II）依题意, 直线的斜率存在且不为0,记为,那么直线的方程是 设点关于直线的对称点为那么 解得 因为点在椭圆上，所以即 设那么 因为所以于是, 当且仅当 上述方程存在正实根,即直线存在. 解得所以 即的取值范围是 5. （2023年辽宁卷，文科，21） 在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为． （Ⅰ）写出C的方程； （Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？此时的值是多少？ 〖解析〗（Ⅰ）由椭圆的定义易得，（Ⅱ）设出A，B两点的坐标后由一元二次方程根与系数关系求出，再由向量的坐标运算求出k值，最后由弦长公式可以求出的值. 〖答案〗（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点， 长半轴为2的椭圆．它的短半轴， 故曲线C的方程为． 4分 （Ⅱ）设，其坐标满足 消去y并整理得， 故． 6分 ，即．而， 于是． 所以时，，故． 8分 当时，，． ， 而， 所以． 6．（2023年山东卷，文科，22） 曲线所围成的封闭图形的面积为， 曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线． 是上异于椭圆中心的点． （1）假设（为坐标原点），当点在椭圆上运动时， 求点的轨迹方程； （2）假设是与椭圆的交点，求的面积的最小值． 〖解析〗（Ⅰ）由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于a，b的方程组， 曲线与坐标轴的交点为椭圆的顶点，显然为焦点在x轴的椭圆； （Ⅱ）（1）设出的方程，，，联立直线与椭圆得到方程组后，由可得的轨迹方程，注意或不存在时所得方程仍然成立；（2）由直线的方程：和椭圆方程联立后表示出由不等式放缩即可求出最小值. 〖答案〗（Ⅰ）由题意得又，解得，． 因此所求椭圆的标准方程为． （Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为 ，． 解方程组得，， 所以． 设，由题意知， 所以，即， 因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即， 因此， 又，所以，故． 又当或不存在时，上式仍然成立． 综上所述，的轨迹方程为． （2）当存在且时，由（1）得，， 由解得，， 所以，，． 解法一：由于 ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是． 当，． 当不存在时，． 综上所述，的面积的最小值为． 解法二：因为， 又，， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 此时面积的最小值是． 当，． 当不存在时，． 综上所述，的面积的最小值为． 7．（2023年广东卷，文科，20） 设，椭圆方程为，抛物线方程为．如下列图，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点． （1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； （2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？假设存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 〖解析〗（1）由可求出G点的坐标，从而求出抛物线在点的切线方程，进而求出点的坐标，由椭圆方程也可以求出点的坐标，从而求出，得出椭圆方程和抛物线方程；（2）以为直角和以为直角的直角三角形显然各一个，以为直角的直角三角形是否存在可以转化成对应的方程是否有解的问题，从而可以求出满足条件的P点的个数. 〖答案〗（1）