2023年高考数学热点考点题型探析数列的概念新人教版.docx

第1讲 数列的概念 热 点 考 点 题 型 探 析 考点1 数列的通项公式 题型1 数列的前几项，求通项公式 【例1】求以下数列的一个通项公式： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中和的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列，和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式. 【解析】⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式； ⑵将原数列改写为分母分别为分子分别为 呈周期性变化，可以用，或，或表示. 〔或，或〕 ⑶分子为正偶数列，分母为得 ⑷观察数列可知： 此题也可以利用关系式求解. 【名师指引】⑴联想和转换是由认识未知的两种有效的思维方法. ⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证. 题型2 数列的前项和，求通项公式 【例2】以下数列的前项和，分别求它们的通项公式. ⑴； ⑵. 【解题思路】利用，这是求数列通项的一个重要公式. 【解析】⑴当时，， 当时，. 当时，，. ⑵当时，， 当时，. 当时，，. 【名师指引】任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系： 假设适合，那么把它们统一起来，否那么就用分段函数表示. 题型3 数列的递推式，求通项公式 【例3】数列中，，求，并归纳出. 【解题思路】的递推公式求前几项，可逐步计算. 【解析】， ，，，， 由，可以归纳出. 【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳—猜测—证明〞的方法，也可以构造新数列. 【新题导练】 1.有穷数列：，其中后一项比前一项大2. ⑴求此数列的通项公式； ⑵是否为此数列的项？ 【解析】⑴设数列的第项为，那么 令，故该数列的通项公式 ⑵令，解得， ， 不是有穷数列的项. 2.数列中，，求的值. 【解析】由，得 当时，；当时， 两式相除，得.，. 3.数列中，，求，并归纳出. 【解析】 ，，， 由，可以归纳出 考点2 与数列的通项公式有关的综合问题 题型1 数列通项公式，求项数及最大〔最小〕项 【例4】数列中，. ⑴是数列中的第几项？ ⑵为何值时，有最小值？并求最小值. 【解题思路】数列的通项与之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求. 【解析】⑴由，解得， 是数列中的第项. ⑵， 或时，. 【名师指引】利用二次函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域为正整数. 题型2 数列通项公式，判断数列单调性及有界性 【例5】数列中，. ⑴求数列的最小项； ⑵判断数列是否有界，并说明理由. 【解题思路】⑴转化为判断数列的单调性，即证，或；⑵从“数列的有界性〞定义入手. 【解析】⑴ ，数列是递增数列，数列的最小项为. ⑵，数列有界. 【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列. 【新题导练】 4.数列中，，求取最小值时的值. 【解析】，时，取最小值. 5.数列中，，求数列的最大项和最小项. 【解析】， 又，，数列是递增数列 数列的最小项为，没有最大项. ★ 抢 分 频 道 ★ 根底稳固训练 ，那么是这个数列的〔 〕 A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【解析】C．，选C． 2.(2023年华师附中)数列的前项和为，且，那么数列的首项为〔 〕 A．或 B． C． D．或 【解析】D．中令，得，或 3.(2023恩城中学)定义在正整数集上的函数满足条件：，, ,那么的值为〔 〕 A．－2 B． 2 C．4 D．－4 【解析】B．利用数列的周期性，周期为4， 中数值最大的项是第 项. 【解析】3 5.(2023恩城中学文)观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，那么可得出一般结论 . 【解析】 中，，，那么的值是〔 〕 A． B． C． D． 【解析】C．利用数列的周期性，除前4项后，周期为6， 综合拔高训练 7.(2023恩城中学节选)数列的首项，其前项和．求数列 的通项公式． 【解析】由，，① ∴，② ①－②得：，即，， ∵，∴． 的第项是二次函数，，求. 【解析】设，由 ，. 中，. ⑴求这个数列的第10项； ⑵是否为该数列的项，为什么？ ⑶求证：； ⑷在区间内有无数列的项，假设有，有几项？假设无，说明理由. 【解析】⑴，； ⑵令，无整数解，不是该数列的项. ⑶，，， ⑷由，得 ，当且仅当时，在区间内有数列的项.