2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案映射函数解析式高中数学.docx

第二章 函数 知识结构网络 2．1 映射 函数 解析式 ——函数就是两个非空数集之间的对应，由定义域、对应法那么和值域三个要素构成；对应法那么是函数问题的核心，中学的函数对应法那么多能用解析式表示。 一、明确复习目标 1．了解映射的概念, 理解函数概念及实质，能用函数思想分析解决问题； 2．能根据函数所具有的性质、关系求出函数的解析式，掌握一些函数解析式的变形和运用。 3．理解函数的三种表示方法，培养学生思维的严密性、多样性. 二．建构知识网络 1.映射：如果非空集合A中任何一个元素，按照某种对应关系f，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f :A→B 映射是一种特殊的对应，即“一对一〞或“多对一〞但不能是“一对多〞。 假设,那么b叫a的象,a叫b的原象;A中元素必有象，B中元素未必有原象。 假设A中不同元素的象也不同(称为单射)，且B中每一个元素都有原象(称为满射,那么称这样的映射称为一 一映射。 2.函数的定义有两种形式：一是变量观点的定义，一是映射观点的定义． (1)在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,就说y是x的函数,(x是自变量). (2)假设A、B是非空的数集，那么映射f : A→B称为从集合A到集合B的函数，记作y=f〔x〕，x∈A，x叫自变量;A叫定义域；函数值的集合{f〔x〕|x∈A}叫值域. 函数是特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集；映射是特殊的对应。用映射的观点理解函数概念是对函数概念的深化. 3．两个函数的相等——必须定义域A、值域C和对应法那么f都相同； 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法那么确定之后，函数的值域也就随之确定，因此，定义域和对应法那么为函数的两个根本条件。 4．函数的表示法有三种: 解析法、列表法、图象法； 解析法——就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式； 5．求函数解析式的题型有： 〔1〕函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 〔2〕求复合函数的解析式，或由复合函数求解析式：换元法、配凑法； 〔3〕函数图像，求函数解析式； 〔4〕应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等 6．复合函数：假设y=f(u),u=g(x),xÎA, uÎM,那么y=f[g(x)]称为复合函数，(注意中间变量u的取值范围) 即： , () 三、双基题目练练手 1.设集合A=R，集合B=正实数集，那么从集合A到集合B的映射f只可能是 ( ) A.f:x→y=|x| B.f:x→y= C.f:x→y=3－x D.f:x→y=log2〔1+|x|〕 2.假设函数f〔x〕=loga〔x+1〕〔a＞0，a≠1〕的定义域是[0，1]时，值域也是［0，1］，那么a等于 〔 〕 A. B. C. D.2 3.(2023陕西12) 为确保信息平安,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),加密规那么为:明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16 当接收方收到密文14,9,23,28时,那么解密得到的明文为〔 ) A 4,6,1,7 B 7,6,1,4 C 6,4,1,7 D 1,6,4,7 4．假设f〔sinx〕=2－cos2x，那么f〔cosx〕等于 〔 〕 A.2－sin2x B.2+sin2x C.2－cos2x D.2+cos2x 5.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，那么在映射f下，象20的原象是 6.如果f［f〔x〕］=2x－1，那么一次函数f〔x〕=____________ 答案提示：1-4、CDCD；5、4； 6、 设f〔x〕=kx+b，待定系数法得f〔x〕=x+1－或f〔x〕=－x+1+。 四、经典例题做一做 【例1】 以下各组函数表示同一函数的是 〔1〕f〔x〕=，g〔x〕=； 〔2〕f〔x〕=，g〔x〕= 〔3〕f〔x〕=，g〔x〕=〔〕2n－1〔n∈Nx〕； 〔4〕f〔x〕=，g〔x〕=； 〔5〕f〔x〕=x2－2x－1，g〔t〕=t2－2t－1. 解析：对于两个函数，当且仅当它们的定义域、值域、对应法那么都相同时，才表示同一函数；只要两函数的三要素中有一个不同，那么这两个函数就不是同一函数。 〔1〕对应法那么及值域都不相同，所以它们不是同一函数. 〔2〕定义域分别为〔－∞，0〕∪〔0，+∞〕和R，不是同一函数. 〔3〕由于当n∈Nx时，2n±1为奇数，∴f〔x〕==x，g〔x〕=〔〕2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法那么都相同，所以它们是同一函数. 〔4〕定义域分别为{x|x≥0}和 {x|x≤－1或x≥0}，不是同一函数. 〔5〕是同一函数. 温馨提示：〔3〕小题中易误判为解析式不同，实质上都等于x；〔5〕易误认为自变量不同，所以定义域不同，从而认为是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.它们所表示的函数定义域都是R，对应法那么相同。 【例2】 A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f〔1〕≤f〔2〕≤f〔3〕≤f〔4〕≤f〔5〕的映射有 个。 分析：确定映射只须给A中每个数找到象，且符合题中条件，因此对应时不要打乱象和原象的顺序。分一个象，两个象，三个象三类，再用插板法把12345分开。 解：将元素12345和678分别按从小到大的顺序排列。 〔1〕只有一个象的映射有C＝3个； 〔2〕假设恰有两个象，就先选出两个象，再把12345用插板法分成两段，并按照原顺序对应，有C·C＝12个； 〔3〕假设恰有三个象，就将12345分为三段，并按照原顺序对应，有C＝6种方法. 综上知，适合条件的映射共有21个 【例3】〔1〕，求； 〔2〕，求； 〔3〕是一次函数，且满足 ，求； 〔4〕满足，求 解：〔1〕∵， 又 ∴〔或〕 〔2〕令〔〕，那么， ∴，∴ 〔3〕设， 那么 ， ∴，，∴ 〔4〕 ①， 把①中的换成，得 ②， ①②得，∴ 方法提炼：第〔1〕题用配凑法；第〔2〕题用换元法；第〔3〕题一次函数，可用待定系数法；第〔4〕题用方程组法. 【例4】. 如以以下图，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点〔起点〕向A点〔终点〕移动，设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y=f〔x〕 〔1〕求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式； 〔2〕作出函数的图象，并根据图象求y的最大值. 解：〔1〕这个函数的定义域为〔0，12〕. 当0＜x≤4时，S=f〔x〕=·4·x=2x； 当4＜x≤8时，S=f〔x〕=8； 当8＜x＜12时，S=f〔x〕=·4·〔12－x〕=2〔12－x〕=24－2x. ∴这个函数的解析式为f〔x〕= 〔2〕其图形为 由图知，［f〔x〕］max=8. 【研究.欣赏】xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由． 分析： 4x-9y=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢？ 解： 因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)． 特别提示：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程转化为函数解析式,那么需要一定的条件． 五．提炼总结以为师 1.理解映射与函数的概念，应注意以下几点： 〔1〕映射包括集合A、B及对应法那么f，是一个完整系统,且有“方向性〞; 〔2〕映射是特殊的对应,它要求:集合A中每一个元素，在集合B中都有唯一象。A中不同元素，可以对应B中不同的象；不要求B中的每一个元素在A中都有原象. (3) 函数是特殊的映射,它要求A,B都是非空数集;确定一个函数需要三个要素; 2.题 型.思想.方法: 〔1〕确定映射只须按要求，给A中每个元素找到确定的象即可。 (2) 求函数的解析式主要有待定系数法、换元法或配凑法。根据实际问题求函数解析式，要符合实际意义，且定义域也要有实际意义。 同步练习 2．1 映射 函数 解析式 【选择题】 1、集合，，以下不表示从到的映射是 〔 〕 A． B． C． D． 2、以下各组函数是同一函数的是 〔 〕 ①与； ②与；③与； ④与。 A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 3、〔2023浙江10〕函数f：{1，2，3}{1，2，3} 满足f〔f〔x〕〕＝f〔x〕，那么这样的函数个数共有 〔 〕 〔A〕1个 〔B〕4个 〔C〕8个 〔D〕10个 【填空题】 4、两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表. x 1 2 3 f〔x〕 2 3 1 g(x) 1 3 2 那么g(f(1))、g(f(2))、g(f(3))的值依次为 5、〔2023年湖北，3〕f〔〕=，那么f〔x〕= 6 〔2023北京〕函数其中P、M为实数集R的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}，，给出以下四个判断： ①假设P∩M=φ,那么f(P)∩f(M)=φ ②假设P∩M≠φ,那么f(P)∩f(M)≠φ ③假设P∪M=R,那么f(P)∪f(M)=R ④假设P∪M≠R,那么f(P)∪f(M)≠R 其中正确判断的序号是 简答:1-4、BCD； 4. 3,2,1; 5、； 6、②④.提示:假设P∩M≠φ那么只有假设P∩M={0}这一种可能．否那么f(x)不是单值，与函数定义矛盾。②和④是正确的． 【解答题】 7、假设f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B. 7、解：∵f〔1〕=3×1+1=4，f〔2〕=3×2+1=7，f〔3〕=3×3+1=10，f〔k〕=3k+1，由映射的定义知 〔1〕或〔2〕 ∵a∈N，∴方程组〔1〕无解. 解方程组〔2〕，得a=2或a=－5〔舍〕，3k+1=16，3k=15，k=5.∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}. 8、集合M={a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f〔a〕+f〔b〕+f〔c〕=0，那么映射f:M→N的个数是多少？ 8、解：∵f〔a〕∈N，f〔b〕∈N，f〔c〕∈N，且f〔a〕+f〔b〕+f〔c〕=0， ∴有0+0+0=0+1+〔－1〕=0. 当f〔a〕=f〔b〕=f〔c〕=0时，只有一个映射； 当f〔a〕、f〔b〕、f〔c〕中恰有一个为0，而另两个分别为1，－1时，有C·A=6个映射.因此所求的映射的个数为1+6=7. 评述：此题考查了映射的概念和分类讨论的思想. 9、用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架〔如以以下图〕，假设矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域. 解：∵AB=2x，那么=πx，AD=. ∴y=2x·+=－〔+2〕x2+l