2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版9.docx

1989年全国高中数学联赛 (10月15日上午8∶00—10∶00) 一．选择题(此题总分值30分，每题5分)： 1．假设A、B是锐角△ABC的两个内角，那么复数 z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π] 3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒( ) A．关于x轴对称 B．关于直线x=l对称 C．关于直线x=－l对称 D．关于y轴对称 4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A．0 B．6 C．8 D．24 5．假设 M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}， N={z| z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}． 那么M∩N中元素的个数为 A．0 B．1 C．2 D．4 6．集合 M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z} N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z} 的关系为 A．M=N B．MËN，NËM C．MN D．NM 三．填空题(此题总分值30分，每题5分) 1．假设loga<1，那么a的取值范围是 ． 2．直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l¢⊥l，那么l¢与l的交点坐标为 ． 3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，那么函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭局部的面积是 . 4．一个正数，假设其小数局部、整数局部和其自身成等比数列，那么该数为 ． 5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足 a2－a1≥3，与a3－a2≥3， 那么，所有符合上述要求的不同取法有 种． 6．当s和t取遍所有实数时，那么 (s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2 所能到达的最小值为 ． 三．(此题总分值20分) a1，a2，…，an是n个正数，满足 a1∙a2∙…∙an=1． 求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n． 四．(此题总分值20分) 正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O¢，在AO¢上取一点P，使=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积． 五．(此题总分值20分) ：对任意的n∈Nx，有an>0，且 a=(aj)2．求证：an=n． 第二试 (上午10∶30—12∶30) 一．(此题总分值35分) A B C E F 在ΔABC中，AB>AC，ÐA的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F． 求证 2AF=AB-AC． 二．(此题总分值35分) xi∈R(i=1，2，…，n；n≥2)，满足 |xi|=1，xi=0， 求证：≤－ ． 三．(此题总分值35分) 有n×n（n≥4)的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入+1与-1这两个数中的一个，现将表内n个两两既不同行(横)又不同列(竖)的方格中的数的乘积称为一个根本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部根本项之和总能被4整除（即总能表示成4k的形式，其中k∈Z）． 1989年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题(此题总分值30分，每题5分)： 1．假设A、B是锐角△ABC的两个内角，那么复数 z=(cosB－sinA)+i(sinB－cosA) 在复平面内所对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：0°<A、B<90°<A+B<180°．故90°>A>90°－B>0°，sinA>cosB，cosA<sinB． 故cosB－sinA<0，sinB－cosA>0．点Z位于第二象限．选B 2．函数f(x)=arctanx+arcsinx的值域是( ) A．(－π，π) B．[－π，π] C．(－π，π) D．[－π，π] 解：因x∈[－1，1]，故arctanx∈[－，]，arcsinx∈[－，]，且f(－1)=－，f(1)= ．选D 3．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－l)与函数y=f(－x+l)的图象恒( ) A．关于x轴对称 B．关于直线x=l对称 C．关于直线x=－l对称 D．关于y轴对称 解：令x－1=t，那么得f(t)=f(－t)，即f(t)关于t=0对称，即此二图象关于x=1对称．选B 4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为( ) A．0 B．6 C．8 D．24 解：以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形．其余的三角形都不是锐角三角形．选C． 5．假设 M={z| z=+i，t∈R，t≠－1，t≠0}， N={z| z=[cos(arcsint)+icos(arccost)]，t∈R，|t|≤1}． 那么M∩N中元素的个数为 A．0 B．1 C．2 D．4 解：M的图象为双曲线xy=1(x≠0，x≠1)N的图象为x2+y2=2(x≥0)，二者无公共点．选A． 6．集合 M={u|u=12m+8n+4l，其中m，n，l∈Z} N={u|u=20p+16q+12r，其中p，q，r∈Z} 的关系为 A．M=N B．MËN，NËM C．MN D．NM 解：u=12m+8n+4l=4(3m+2n+l)，由于3m+2n+l可以取任意整数值，故M表示所有4的倍数的集合． 同理u=20p+16q+12r=4(5p+4q+3r)也表示全体4的倍数的集合．于是M=N． 三．填空题(此题总分值30分，每题5分) 1．假设loga<1，那么a的取值范围是 ． 解：假设0<a<1，那么loga<0，假设a>1，那么得a>．故填(0，1)∪(，+∞) 2．直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l¢⊥l，那么l¢与l的交点坐标为 ． 解：直线l¢方程为(x+10)－2y=0，解得交点为(2，6)． 3．设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)－1|，f2(x)= |f1(x)－2|，那么函数y=f2(x)的图象与x轴所围成图形中的封闭局部的面积是 . 解 图1是函数f0(x)=|x|的图形，把此图形向下平行移动1个单位就得到函数f0(x)=|x|－1的图形，作该图形的在x轴下方的局部关于x轴的对称图形得出图2，其中在x轴上方的局部即是f1(x)=|f0(x)–1|的图象，再把该图象向下平行移动2个单位得到f0(x)=|x|－2的图象，作该图象在x轴下方的局部关于x轴的对称图形得到图3，其中x轴上方的局部即是f2(x)= |f1(x)–2|的图象。易得所求面积为7。 4．一个正数，假设其小数局部、整数局部和其自身成等比数列，那么该数为 ． 解 设其小数局部为α(0<α<1)，整数局部为n(n∈Nx)，那么得，α(n+α)=n2， ∴ n2<n+α<n+1． ∴ <n<， 但n∈Nx，故n=1，得，α2+α－1=0， ∴ a=， 由α>0，知，a=．∴ 原数为． 5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足 a2－a1≥3，与a3－a2≥3， 那么，所有符合上述要求的不同取法有 种． 解：令a1¢=a1，a2¢=a2－2，a3¢=a3－4，那么得1≤a1¢<a2¢<a3¢≤10．所求取法为C=120． 6．当s和t取遍所有实数时，那么 (s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2 所能到达的最小值为 ． 解：令x=3|cost|，y=2|sint|，那么得椭圆+=1在第一象限内的弧段． 再令x=s+5，y=s，那么得y=x－5，表示一条直线．(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2表示椭圆弧段上点与直线上点距离平方．其最小值为点(3，0)与直线y=x－5距离平方=2． 三．(此题总分值20分) a1，a2，…，an是n个正数，满足 a1∙a2∙…∙an=1． 求证：(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n． 证明：∵ 2+ai=1+1+ai≥3，(i=1，2，…，n) ∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=(1+1+a1)(1+1+a2)…(1+1+an)≥3∙3∙…∙3≥3n=3n． 证法2：(2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an 但a1+a2+…+an≥n=n=C， a1a2+a1a3+…+an－1an≥C=C，……， ∴ (2+a1)(2+a2)…(2+an)=2n+(a1+a2+…+an)2n－1+(a1a2+a1a3+…+an－1an)2n－2+…+a1a2…an ≥2n+C2n－1+C2n－2+…+C=(2+1)n=3n． 四．(此题总分值20分) 正三棱锥S—ABC的高SO=3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O¢，在AO¢上取一点P，使=8，求经过点P且平行于底面的截面的面积． 解：正三棱锥S—ABC的高为SO，故AO⊥BC，设AO交BC于E，连SE．那么可证BC⊥面AES．故面AES⊥面SBC． 由AO¢⊥面SBC于O¢，那么AO¢在面AES内，O¢在SE上．AO¢与SO相交于点F． ∵ ABC为正三角形，AB=6，故AE=3，OE=． ∵ SO=3，∴ tan∠OES=，∠E=60°． ∴ O¢E=AEcos60°=． 作O¢G⊥平面ABC，那么垂足G在AE上．O¢G=O¢Esin60°=． ∵ =8，∴ =，ÞPH=2． 设过P