2023年高三一轮复习讲座一集合与简易逻辑高中数学.docx

2023年高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑 主讲教师：王思俭 〔苏州中学〕 二、复习要求 1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法； 3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法； 4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系； 5、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 三、学习指导 1、集合的概念： （1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2） 集合的分类： ① 按元素个数分：有限集，无限集； ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3） 集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。 2、两类关系： （1） 元素与集合的关系，用或表示； 〔2〕集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。 3、集合运算 〔1〕交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集； （2） 运算律，如A∩〔B∪C〕=〔A∩B〕∪〔A∩C〕，CU〔A∩B〕=〔CUA〕∪〔CUB〕， CU〔A∪B〕=〔CUA〕∩〔CUB〕等。 4、命题： （1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题； （2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p； 〔3〕复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。 〔3〕四种命题：记“假设q那么p〞为原命题，那么否命题为“假设非p那么非q〞，逆命题为“假设q那么p“，逆否命题为〞假设非q那么非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。 5、 充分条件与必要条件 〔1〕定义：对命题“假设p那么q〞而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件； 〔2〕在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，假设记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，那么当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件； （3） 当p和q互为充要时，表达了命题等价转换的思想。 6、 反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 7、集合概念及其根本理论是近代数学最根本的内容之一。学会用集合的思想处理数学问题。 四、典型例题 例1、集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1，x∈R}，求M∩N。 解题思路分析： 在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合，或者说使集合的特征明朗化。M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R} ∴ M∩N=M={y|y≥1} 说明：实际上，从函数角度看，此题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{〔x，y〕|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。 例2、集合A={x|x2-3x+2=0}，B+{x|x2-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。 解题思路分析： 化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA 根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m2-8<0 ∴ 当B={1}或{2}时，，m无解 当B={1，2}时， ∴ m=3 综上所述，m=3或 说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如此题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。 例3、用反证法证明：x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析： 假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ x、y中至少有一个大于1 说明；反证法的理论依据是：欲证“假设p那么q〞为真，先证“假设p那么非q〞为假，因在条件p下，q与非q是对立事件〔不能同时成立，但必有一个成立〕，所以当“假设p那么非q〞为假时，“假设p那么q〞一定为真。 例4、假设A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。 解题思路分析： 利用“〞、“〞符号分析各命题之间的关系 DCBA ∴ DA，D是A的充分不必要条件 说明：符号“〞、“〞具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。 例5、求直线l：ax-y+b=0经过两直线l1：2x-2y-3=0和l2：3x-5y+1=0交点的充要条件。 解题思路分析： 从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。 由 得l1，l2交点P〔〕 ∵ l过点P ∴ ∴ 17a+4b=11 充分性：设a，b满足17a+4b=11 ∴ 代入l方程： 整理得： 此方程说明，直线l恒过两直线的交点〔〕 而此点为l1与l2的交点 ∴ 充分性得证 ∴ 综上所述，命题为真 说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“〞，双向传输，同时证明充分性及必要性；另一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。 同步练习 （一） 选择题 1、 设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，那么{a}与M的关系是 A、{a}=M B、M{a} C、{a}M D、M{a} 2、 全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，那么a的取值范围是 A、 [0，2] B、〔-2，2〕 C、〔0，2] D、〔0，2〕 3、 集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，那么M，N的关系是 A、 MN B、MN C、M=N D、不确定 4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，那么A∪B中的元素个数是 A、11 B、10 C、16 D、15 5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是 A、15 B、16 C、31 D、32 6、对于命题“正方形的四个内角相等〞，下面判断正确的选项是 A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真 C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真 7、“α≠β〞是cosα≠cosβ〞的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3l+1，l∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是 A、SBA B、S=BA C、SB=A D、SB=A 9、方程mx2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 A、0<m≤1或m<0 B、0<m≤1 C、m<1 D、m≤1 10、p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，b是整数，那么p是q的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 充要条件 D、既不充分又不必要条件 （二） 填空题 11、 M={}，N={x|，那么M∩N=__________。 12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，那么两者都爱好的人数最少是________人。 13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。 14、 命题“假设ab=0，那么a、b中至少有一个为零〞的逆否命题为____________。 15、 非空集合p满足以下两个条件：〔1〕p{1，2，3，4，5}，〔2〕假设元素a∈p，那么6-a∈p，那么集合p个数是__________。 （三） 解答题 16、 设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，假设A∩B是单元素集合，求a取值范围。 17、 抛物线C：y=-x2+mx-1，点M〔0，3〕，N〔3，0〕，求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。 18、 设A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，假设A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。 19、 ，b=2-x，c=x2-x+1，用反证法证明：a、b、c中至少有一个不小于1。 参考答案 （一） 选择题 1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A （二） 填空题 11、φ 12、25，60 13、-1≤a≤1 14、假设a、b均不为0，那么ab≠0 15、7 （三） 解答题 16、a≥1或a≤-1，提示：画图 17、 3＜m≤ 18、，或，或