算术-几何平均值不等式的证明.pdf

平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据,特别是算术平均值-几何平均值不等式(以下简称算几不等式)的应用更是尤为广泛,许多极限问题的证明都要应用到这一不等式,而关于这一不等式的证明方法,常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明,下面介绍几种另外的证明方法。1利用二项式定理证明:首先,对于a,b 0由二项式定理,得(a+b)nan+n an-1b由数学归纳法,若n-1时为真,对于n,假设anan-1a2a10.又设a=1n-1n-1i=1xi,b=1n(xn-a),故有a,b 0及1nn-1i=1xi#$n=(a+b)n an+n an-1b=xn1n-1n-1i=1xi%&n-1xn(x1x2xn-1)即x1+x2+xnnx1x2xnn(xi0,i=1,2,n).2利用不等式ex1+x(x-1)证明:设An=x1+x2+xnn,Gn=x1x2xnn(xi 0,i=1,2,n)由不等式ex1+x(x-1)可知,对于每一i,有e x pxiAn-%&1xiAn求乘积,得1=ni=1(e x pxiAn-%$1=e x pni=1xiAn-%$1%$ni=1(xiAn=GnAn%$n算术-几何平均值不等式的证明故AnGn,即x1+x2+xnnx1x2xnn(xi0,i=1,2,n).3利用泰勒公式证明:设f(x)=l o gax(0 a 0),则f(x)=1x21 n a 0,将f(x)在点x0处展开,有f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x)2(x-x0)2,!=x0+(x-x0)(0 1)因此有f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0),取x0=1nni=1#xi(xi(a,b),(i=1,2,n),则有f(xi)f1nni=1%xi&+f 1nni=1%xi&(xi-ni=1%xi&(i=1,2,n)故ni=1%f(xi)n f1nni=1%xi&(+f 1nni=1%xi&(+ni=1%xi-ni=1%xi&(=n f1nni=1%xi&(即f1nni=1%xi&(1nni=1%f(xi).因此有l o ga1n(x1+x2+xn)1n(l o gax1+l o gax2+l o gaxn)即1nl o ga(x1x2xn)l o ga1n(x1+x2+xn)亦即l o ga(x1x2xn)1n1nl o ga(x1+x2+xn)(0a 0,i=1,2,n).4利用函数凹凸性证明:设f(x)=l o gax(a 1,x 0),则f(x)=-1x21 n a0,i=1,2,n).