2023学年高中学业水平数学模拟测试卷四.doc

高中学业水平考试模拟测试卷(四)(90 分钟 满分 100 分)一、选择题(共 15小题，每小题 4 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 P1，2，Q2，3，全集 U1，2，3，则U(PQ)等于()A3 B2，3 C2 D1，3 解析：因为全集U1，2，3，集合 P1，2，Q2，3，所以 PQ2，所以U(PQ)1，3，故选 D.答案：D 2圆 x2y24x6y110 的圆心和半径分别是()A(2，3)；B(2，3)；2 C(2，3)；1 D(2，3)；解析：圆 x2y24x6y110 的标准方程为(x2)2(y3)22，据此可知圆心坐标为(2，3)，圆的半径为，故选 A.答案：A 3已知 ab，|a|2，|b|3 且向量 3a2b 与 kab 互相垂直，则 k 的值为()A B.C D1 解析：因为 3a2b 与 kab 互相垂直，所以(3a2b)(kab)0，所以 3ka2(2k3)ab2b20，因为 ab，所以 ab0，所以 12k180，k.答案：B 4若 cos，则 sin()A.B.C D 解析：因为 cos，所以 sinsincos，故选 A.答案：A 5已知函数 f(x)，则 f(x)的定义域是()A1，2)B1，)C(2，)D1，2)(2，)解析：根据题意得解得 x1 且 x2，故 f(x)的定义域为1，2)(2，)，故选 D.答案：D 6若双曲线y21 的一条渐近线方程为 y3x，则正实数 a 的值为()A9 B3 C.D.解析：双曲线y21 的渐近线方程为 y，由题意可得3，解得 a，故选 D.答案：D 7若直线 l 过点(1，2)且与直线 2x3y40 垂直，则 l 的方程为()A3x2y10 B2x3y10 C3x2y10 D2x3y10 解析：因为 2x3y40 的斜率 k，所以直线 l 的斜率 k，由点斜式可得 l的方程为 y2(x1)，即 3x2y10，故选 A.答案：A 8已知(1，1，0)，C(0，1，2)，若2，则点 D 的坐标为()A(2，3，2)B(2，3，2)C(2，1，2)D(2，1，2)解析：设点 D 的坐标为(x，y，z)，又 C(0，1，2)，所以(x，y1，z2)，因为(1，1，0)，2，所以(x，y1，z2)(2，2，0)，即则点 D 的坐标为(2，1，2)故选 D.答案：D 9已知平面，和直线 m，直线 m 不在平面，内，若，则“m”是“m”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：由，m，可得 m 或 m 或 m 与 既不垂直也不平行，故充分性不成立；由，m 可得 m，故必要性成立，故选 B.答案：B 10将函数 ysin 的图象经怎样平移后，所得的图象关于点成中心对称()A向左平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向右平移个单位 解析：将函数 ysin 的图象向左平移 个单位，得 ysin 的图象，因为该图象关于点成中心对称，所以 22k(kZ)，则(kZ)，当 k0 时，故应将函数 ysin 的图象向右平移个单位，选 B.答案：B 11ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 C，c，b3a，则ABC 的面积为()A.B.C.D.解析：已知 C，c，b3a，所以由余弦定理可得 7a2b2aba29a23a27a2，解得 a1，则 b3，所以SABCabsin C13.故选 B.答案：B 12函数 y的图象大致是()解析：因为 y的定义域为x|x0，所以排除选项 A；当 x1 时，y0，故排除选项 B；当 x时，y0，故排除选项 D，故选 C.答案：C 13若实数 x，y 满足约束条件则 zx2y2 的最大值是()A.B4 C9 D10 解析：作出约束条件的可行域，如图中阴影部分所示，因为 A(0，3)，C(0，2)，所以|OA|OC|.联立解得 B(3，1)因为 x2y2 的几何意义为可行域内的动点与原点距离的平方，且|OB|29110，所以 zx2y2 的最大值是 10.故选 D.答案：D 14已知等差数列an的前 n 项和是 Sn，公差 d 不等于零，若 a2，a3，a6 成等比数列，则()Aa1d0，dS30 Ba1d0，dS30 Ca1d0 Da1d0，dS30 解析：由 a2，a3，a6 成等比数列，可得 aa2a6，则(a12d)2(a1d)(a15d)，即 2a1dd20，因为公差 d 不等于零，所以a1d0.故选 C.答案：C 15如图所示，在正三角形 ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE 的中点将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，HG 与 IJ 所成角的度数为()A90 B60 C45 D0 解析：将ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，点 A，B，C 重合为点 M，得到三棱锥 M-DEF，如图因为 I、J 分别为 BE、DE 的中点，所以 IJ侧棱 MD，故 GH 与 IJ 所成的角等于侧棱 MD与 GH 所成的角因为AHG60，即MHG60，所以 GH 与 IJ 所成的角的度数为 60，故选 B.答案：B 二、填空题(共 4 小题，每小题 4 分，共 16分)16设公比不为 1 的等比数列an满足 a1a2a3，且 a2，a4，a3 成等差数列，则公比 q_，数列an的前 4 项的和为_ 解析：公比不为 1 的等比数列an满足 a1a2a3，所以 a，解得 a2，a3q，a4q2，又 a2，a4，a3 成等差数列，故 2a4a2a3，解得 q，a11，由 Sn可得 S4.答案：17设函数 f(x)(xR)满足|f(x)x2|，|f(x)1x2|，则 f(1)_ 解析：由|f(x)x2|，得f(x)x2.由|f(x)1x2|，得f(x)x21，即f(x)x2，所以 f(x)x2，则 f(1)1，故 f(1).答案：18若半径为 10 的球面上有 A、B、C 三点，且 AB8，ACB60，则球心 O到平面 ABC 的距离为_ 解析：在ABC 中，AB8，ACB60，由正弦定理可求得其外接圆的直径为16，即半径为 8，又球心在平面 ABC 上的射影是ABC 的外心，故球心到平面 ABC 的距离、球的半径及三角形外接圆的半径构成了一个直角三角形，设球面距为 d，则有 d21028236，解得 d6.故球心 O 到平面 ABC 的距离为 6.答案：6 19已知动点 P 是边长为的正方形 ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形 ABCD 的外接圆 O 的一条动弦，且 MN，则的取值范围是_ 解析：如图，取 MN 的中点 H，连接 PH，则，.因为 MN，所以222，当且仅当点 P，H 重合时取到最小值当 P，H 不重合时，连接 PO，OH，易得 OH，则 2()222222|cosPOH2|cosPOH2|，当且仅当 P，O，H 三点共线，且 P 在 A，B，C，D 其中某一点处时取到等号，所以21，故的取值范围为.答案：三、解答题(共 2 小题，每小题 12 分，共 24 分解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤)20已知ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 sin2Asin2Bsin2Csin Asin B.(1)求角 C 的大小；(2)若ABC 的面积为 2，c2，求ABC 的周长 解：(1)由 sin2 Asin2 Bsin2 Csin Asin B 及正弦定理，得 a2b2c2ab，由余弦定理得 cos C，因为 C(0，)，所以 C.(2)由(1)知 C.由ABC 的面积为 2 得ab2，解得 ab8，由余弦定理得 c2a2b22ab(ab)23ab12，所以(ab)236，ab6，故ABC 的周长为 62.21如图，直线 l 与椭圆 C：1 交于 M，N 两点，且|MN|2，点 N 关于原点 O 的对称点为 P.(1)若直线 MP 的斜率为，求此时直线 MN 的斜率 k 的值；(2)求点 P 到直线 MN 的距离的最大值 解：(1)设直线 MP 的斜率为 k，点M(x，y)，N(s，t)，则 P(s，t)，k，且1，1，所以 y22，t22.又 kk.且 k，所以 k1.(2)当直线MN 的斜率 k 存在时，设其方程为 ykxm，由消去 y，得(12k2)x24kmx2m240，则 8(4k2m22)0，x1x2，x1x2，由|MN|x1x2|2，化简得 m2.设点 O 到直线 MN 的距离为 d，则 P 到 MN 的距离为 2d，又 d，则 4d2 88，所以 02d2.当直线 MN 的斜率不存在时，则 M(，1)，N(，1)，则 P(，1)，此时点 P 到直线 MN 的距离为 2.综上，点 P 到直线 MN 的距离的最大值为 2.