2023年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学理高中数学.docx

试卷类型：A 2023年广州市普通高中毕业班综合测试〔一〕 数 学〔理科〕 2023．3 本试卷共4页，21小题， 总分值150分． 考试用时120分钟． 本卷须知： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号〞处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型〔A〕填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题〔或题组号〕对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：球的体积公式，其中是球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分值40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．复数 的共轭复数是 A． B． C． D． 2．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点﹐球面上有两个点，的坐标分别为，，那么 A． B．12 C． D． 3．集合，，假设，那么实数的所有可能取值的集合为 A． B． C． D． 4．假设关于的不等式的解集为，那么实数的值为 A．2 B．1 C． D． 5．：直线与平面内无数条直线垂直，：直线与平面垂直．那么是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．根据中华人民共和国道路交通平安法规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml〔不含80〕之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml〔含80〕以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2023元以下罚款． 20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量 频率 组距 〔mg/100ml〕 0.015 0.01 0.005 0.02 图1 据法制晚报报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共 28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布 直方图，那么属于醉酒驾车的人数约为 A．2160 B．2880 C．4320 D．8640 7．在中，点在上，且，点是的中点，假设，，那么 A． B． C． D． ……………………………………… 图2 8．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形〞， 它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端 的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如，，，…， 那么第10行第4个数〔从左往右数〕为 A． B． C． D． 图3 开始 结束 输入 否 是 输出 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分． 〔一〕必做题〔9～13题〕 9．在等比数列中，，公比，假设前项和， 那么的值为 ． 10．某算法的程序框如图3所示，假设输出结果为，那么输入的实数的值 是________． 〔注：框图中的赋值符号“=〞也可以写成 “←〞或“：=〞〕 11．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点， 那么点到点的距离大于1的概率为 ． 12．函数假设在上单调递增，那么实数的取值范围为 ． 13．如图4，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，那么空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 〔填出所有可能的序号〕． ① ② ③ ④ 图4 A B C D E F O A A A 图5 A B C D O 〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14．〔几何证明选讲选做题〕如图5,是半圆的直径,点在 半圆上,，垂足为，且,设, 那么的值为 . 15．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，两点、的极坐 标分别为，，那么△〔其中为极点〕的面积 为 ． 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分值12分〕 函数〔其中，〕． 〔1〕求函数的最小正周期； 〔2〕假设函数的图像关于直线对称，求的值． 17．〔本小题总分值12分〕 某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字1000、800﹑600、0的四个球〔球的大小相同〕．参与者随机从抽奖箱里摸取一球〔取后即放回〕，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金〔元〕，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次﹐但是所得奖金减半〔假设再摸到标有数字0的球就没有第三次摸球时机〕，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是多少元． 18．〔本小题总分值14分〕 如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9． 〔1〕求证：平面平面； 〔2〕求二面角的平面角的正切值． 19．〔本小题总分值14分〕 ，函数，〔其中为自然对数的底数〕． 〔1〕求函数在区间上的最小值； 〔2〕是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直 假设存在，求出的值；假设不存在，请说明理由． 20．〔本小题总分值14分〕 点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． 〔1〕求动点的轨迹的方程； 〔2〕圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值． 21．〔本小题总分值14分〕 设数列的前项和为，且对任意的，都有，． 〔1〕求，的值； 〔2〕求数列的通项公式； 〔3〕证明：． 2023年广州市普通高中毕业班综合测试〔一〕 数学〔理科〕试题参考答案及评分标准 说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继局部的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继局部的得分，但所给分数不得超过该局部正确解容许得分数的一半；如果后继局部的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查根本知识和根本运算．共8小题，每题5分，总分值40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D A B C B B 二、填空题：本大题查根本知识和根本运算，表达选择性．共7小题，每题5分，总分值30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9．7 10． 11． 12． 13．①②③ 14． 15．3 三、解答题：本大题共6小题，总分值80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分值12分〕 〔本小题主要考查三角函数性质和三角函数的根本关系等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力〕 〔1〕解：∵， ∴函数的最小正周期为． 〔2〕解：∵函数， 又的图像的对称轴为〔〕， 令， 将代入，得〔〕． ∵，∴． 17．〔本小题总分值12分〕 〔本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识〕 解：设表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000，800，600，0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金数减半，即分别为500，400，300，0． 那么的所有可能取值为1000，800，600，500，400，300，0． 依题意得 ， ， 那么的分布列为 奖金 1000 800 600 500 400 300 0 概率 所以所求期望值为 元． 答：一个参与抽奖活动的人可得奖金的期望值是675元． 18．〔本小题总分值14分〕 〔本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力〕 〔1〕证明：∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上， ∴． 在正方形中，， ∵，∴平面． ∵平面， ∴平面平面． 〔2〕解法1：∵平面，平面， ∴． ∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为， 在△中，， 在△中，， 由，解得，． ∴． 过点作于点，作交于点，连结， G F 由于平面，平面， ∴． ∵， ∴平面． ∵平面， ∴． ∵，， ∴平面． ∵平面， ∴． ∴是二面角的平面角． 在△中，，，， ∵， ∴． 在△中，， ∴． 故二面角的平面角的正切值为． 解法2：∵平面，平面， ∴． ∴为圆的直径，即． 设正方形的边长为， 在△中，， 在△中，， 由，解得，． ∴． x y z 以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如以下图的空间直角坐标系，那么，，，， ． 设平面的法向量为， 那么即 取，那么是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 那么即 取，那么是平面的一个法向量． ∵， ∴． ∴． 故二面角的平面角的正切值为． 19．〔本小题总分值14分〕 〔本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力〕 〔1〕解：∵，∴． 令，得． ①假设，那么，在区间上单调递增，此时函数无最小值． ②假设，当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以当时，函数取得最小值． ③假设，那么，函数在区间上单调递减， 所以当时，函数取得最小值． 综上可知，当时，函数在区间上无最小值； 当时，函数在区间上的最小值为； 当时，函数在区间上的最小值为． 〔2〕解：∵，， ∴ ． 由〔1〕可知，当时，． 此时在区