2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案等差等比数列综合高中数学.docx

3．6等差等比数列综合 ——高考中的数列大题多是综合性的,等差、等比或再与其它数列综合,或与函数、方程不等式综合 一、明确复习目标 1.在解综合题的实践中加深对根底知识、根本技能和根本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力． 2．培养善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养主动探索的精神和科学理性的思维方法 二．建构知识网络 1.等差、等比数列是两种最根本、最常见的数列，灵活地运用等差、等比数列的性质，能使问题简化； 2.从等差、等比数列中按某种规律，抽取某些项，依次组成一个等比数列，是等差、等比数列综合题中的较重要的类型，要认真体会. 3.用函数的观点和方法揭示等差数列和等比数列的特征，在分析和解决有关数列的综合题中具有重要的意义. 4.等差数列的补充性质 〔2〕假设a1>0，d<0，Sn有最大值，可由不等式组来确定n。 假设a1<0，d>0，Sn有最小值，可由不等式组来确定。 5.等比数列的补充性质 三、双基题目练练手 1.数列{an}满足an+2=－an〔n∈Nx〕，且a1=1，a2=2，那么该数列前2023项的和为 A.0 B.－3 C.3 D.1 〔 〕 2.假设关于x的方程x2－x+a=0和x2－x+b=0〔a≠b〕的四个根可组成首项为的等差数列，那么a+b的值是 〔 〕 A. B. C. D. 3. (2023湖北)假设互不相等的实数a、b、c成等差数列，c、a、b成等比数列，且a+3b+c=10，那么a= 〔 〕 A.4 B.2 C.-2 D.-4 4.假设数列{an}前8项的值各异，且an+8=an对任意的n∈Nx都成立，那么以下数列中，能取遍数列{an}前8项值的数列是 〔 〕 A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1} 5.〔2023春上海〕在等差数列{an}中，当ar=as〔r≠s〕时，数列{an}必定是常数列，然而在等比数列{an}中，对某些正整数r、s〔r≠s〕，当ar=as时，非常数列{an}的一个例子是_______________. 6.〔2023北京〕定义“等和数列〞：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 数列{ an}为等和数列，且a1 =2，公和为5，那么a18的值为__________，这个数列的前n项和的计算公式为________. 简答:1-4.CDDB; 1.由题意，隔项成等比数列,公比为-1, a1+a2+a3+a4=0.S2023=3. 2.依题意设四根分别为a1、a2、a3、a4，公差为d，a1=，a1+a2+a3+a4=1+1=2.又a1+a4=a2+a3，所以a1+a4=a2+a3=1. ∴a4=，d=，a2=，a3=. 故a+b=a1a4+a2a3=.答案：D 4.当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a3k+1}能取遍前8项.答案：B 5.只需选取首项不为0，公比为－1的等比数列.答案：a，－a，a…〔a≠0〕 6. an=5-an-1, a18=3; 当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=n-。 四、经典例题做一做 【例1】〔2023北京海淀模拟〕在等比数列{an}〔n∈Nx〕中，a1＞1，公比q＞0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0. 〔1〕求证：数列{bn}是等差数列； 〔2〕求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an； 〔3〕试比拟an与Sn的大小. 剖析：〔1〕定义法即可解决.〔2〕先求首项和公差及公比.〔3〕分情况讨论. 〔1〕证明：∵bn=log2an，∴bn+1－bn=log2=log2q为常数.∴数列{bn}为等差数列且公差d=log2q. 〔2〕解：∵b1+b3+b5=6，∴b3=2. ∵a1＞1，∴b1=log2a1＞0. ∵b1b3b5=0，∴b5=0. ∴解得 ∴Sn=4n+×〔－1〕=. ∵∴ ∴an=25－n〔n∈Nx〕. 〔3〕解：显然an=25－n＞0，当n≥9时，Sn=≤0. ∴n≥9时，an＞Sn. ∵a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4， ∴当n=3，4，5，6，7，8时，an＜Sn； 当n=1，2或n≥9时，an＞Sn. 评述：此题主要考查了数列的根本知识和分类讨论的思想. 【例2】〔2023春北京〕点的序列An〔xn，0〕，n∈Ｎx，其中xl＝0，x2＝a〔a＞0〕，A3是线段AlA2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，…. 〔1〕写出xn与xn－1、xn－2之间的关系式〔n≥３〕； 〔2〕设an＝xn＋1－xn，计算al，a2，a3，由此推测数列｛an｝的通项公式，并加以证明. 解：〔1〕当n≥3时，xn=. 〔2〕a1=x2－x1=a，a2=x3－x2=－x2=－〔x2－x1〕=－a， a3=x4－x3=－x3=－〔x3－x2〕=－〔－a〕=a， 由此推测：an=〔－〕n－1a〔n∈Nx〕. 证明如下：因为a1=a＞0，且an=xn+1－xn=－xn==－〔xn－xn－1〕=－an－1〔n≥2〕，所以an=〔－〕n－1a. 【例3】 f〔x〕=〔+〕2〔x≥0〕，又数列{an}〔an＞0〕中，a1=2，这个数列的前n项和的公式Sn〔n∈Nx〕对所有大于1的自然数n都有Sn=f〔Sn－1〕. 〔1〕求数列{an}的通项公式； 〔2〕假设bn=〔n∈Nx〕，求证〔b1+b2+…+bn－n〕=1. 解：〔1〕∵f〔x〕=〔+〕2， ∴Sn=〔+〕2. ∴－=.又=， 故有=+〔n－1〕=n， 即Sn=2n2〔n∈Nx〕. 当n≥2时，an=Sn－Sn－1=2n2－2〔n－1〕2=4n－2； 当n=1时，a1=2，适合an=4n－2. 因此，an=4n－2〔n∈Nx〕. 〔2〕∵bn==1+－， ∴b1+b2+b3+…+bn－n=1－. 从而〔b1+b2+…+bn－n〕=〔1－〕=1. 温馨提示:由于条件给出的是Sn与Sn－1的函数关系，求出Sn就可求出an. 【例4】〔2023北京东城模拟〕等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二项、第三项、第四项. 〔1〕求数列{an}与{bn}的通项公式； 〔2〕设数列{cn}对任意正整数n均有+++…+=〔n+1〕an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：〔1〕由题意得〔a1+d〕〔a1+13d〕=〔a1+4d〕2，整理得2a1d=d2. ∵a1=1，解得d=2〔d=0不合题意舍去〕， ∴an=2n－1〔n=1，2，3，…〕. 由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n－1〔n=1，2，3，…〕. 〔2〕当n=1时，c1=6； 当n≥2时，=〔n+1〕an+1－nan=4n+1， ∴cn=〔4n+1〕mn－1bn=〔4n+1〕〔3m〕n－1. ∴cn= 当3m=1，即m=时， Sn=6+9+13+…+〔4n+1〕 =6+ =6+〔n－1〕〔2n+5〕=2n2+3n+1. 当3m≠1，即m≠时， Sn=c1+c2+…+cn，即 Sn=6+9·〔3m〕+13·〔3m〕2+…+〔4n－3〕〔3m〕n－2+〔4n+1〕〔3m〕n－1. ① 3mSn=6·3m+9·〔3m〕2+13·〔3m〕3+…+〔4n－3〕〔3m〕n－1+〔4n+1〕〔3m〕n. ② ①－②得 〔1－3m〕Sn=6+3·3m+4·〔3m〕2+4·〔3m〕3+…+4·〔3m〕n－1－〔4n+1〕〔3m〕n =6+9m+4［〔3m〕2+〔3m〕3+…+〔3m〕n－1］－〔4n+1〕〔3m〕n =6+9m+－〔4n+1〕〔3m〕n. ∴Sn=+. ∴Sn= 温馨提示(1)→公差→an和b，进而求出通项n； 〔2〕→→Cn→Sn. 【研讨.欣赏】{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和， （1） 用Sn表示Sn+1； （2） 是否存在自然数c和k，使得成立。 解：〔1〕∵ ∴ 〔2〕〔x〕 ∵ ∴ ∴ 式〔x〕 ① ∵ Sk+1>Sk ∴ 又Sk<4 ∴ 由①得：c=2或c=3 当c=2时 ∵ S1=2 ∴ k=1时，c<Sk不成立，从而式①不成立 ∵ ∴ 由Sk<Sk+1得： ∴ 当k≥2时，，从而式①不成立 当c=3时，S12，S2=3 ∴ 当k=1，2时，C<Sk不成立 ∴ 式①不成立 ∵ ∴ 当k≥3时，，从而式①不成立 综上所述，不存在自然数c，k，使成立 五．提炼总结以为师 1.等差与等经数列的综合,数列与函数、不等式、方程、等内容的综合. 2.转化化归思想.函数方程思想;重点是运用所学知识综合解决问题的能力. 例题简答 同步练习 3．6等差等比数列综合 【选择题】 1.在等比数列{an}中，a5+a6=a〔a≠0〕，a15+a16=b，那么a25+a26的值是 ( ) A. B. C. D. 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设=，那么= ( ) A 1 B －1 C 2 D 3.假设数列是等差数列，首项，那么使前n项和成立的最大自然数n是： ( 〕 A .4005 , B 4006, C. 4007 , D .4008 【填空题】 4.a1,a2,…,a2n+1成等差数列，且下标为奇数的项的和为60，下标为偶数的项的和为45，那么该数列的项数是 5.假设数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的取值范围是___________________. 6.公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，那么=_____. 简答提示： 1-3.CAB; 1.由等比数列的性质得三个和成等比数列; 2.; 3.a2023>0,a2023<0,a2023+a2023>0 那么a1+a4006>0,故S4006>0.S4007<0. 法二:二次函数Sn的对称轴在2023和2023之间,靠近2023,故S4006>0,S2023<0. 4.7.〔直接列方程〕 5.a1+a2=x+y；xy=b1·b2. ∴==++2. 答案：［4，+∞〕或〔－∞，0］ 6.由a32=a2·a6，得公差d=－2a1，故 ===.答案： 【解答题】 7.设f〔k〕是满足不等式log2x+log2〔3·2k-1－x〕≥2k