2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版23.docx

2022年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10月12日上午8:00-9:40) 一、选择题(每题6分，共36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2022项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是 3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，假设此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，那么线段PF的长等于 (A) (B) (C) (D) 8 4．假设x∈[－，－]，那么y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是 (A) (B) (C) (D) 5．x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，那么函数u=+的最小值是 (A) (B) (C) (D) 6．在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，那么四面体ABCD的体积等于 (A) (B) (C) (D) 二．填空题(每题9分，共54分) 7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是 ． 8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，那么△PF1F2的面积等于 ． 9．A={x|x2－4x+3<0，x∈R}， B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R} 假设AÍB，那么实数a的取值范围是 ． 10．a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，假设a－c=9，那么b－d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于 ． 12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，那么= ． 三、（此题总分值20分） 13．设≤x≤5，证明不等式 2++<2． 四、(此题总分值20分) 14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点． 五、(此题总分值20分) 15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A¢刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A¢取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 加试题 (10月12日上午10:00-12:00) 一、（此题50分） 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC． 求证：∠DBQ=∠PAC． 二、（此题50分） 设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0． =+，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值． 三、（此题50分） 由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)． 1997年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每题6分，共36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2022项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 解：452=2025，462=2116． 在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2022－1980=23项．由2025+23=2048．知选C． 2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是 解：曲线方程为+=1，直线方程为y=ax+b． 由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾． 由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，那么曲线为焦点在x轴上的双曲线，应选B． 3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，假设此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，那么线段PF的长等于 (A) (B) (C) (D) 8 解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=x，弦的中点在y==上，即AB中点为(，)，中垂线方程为y=－(x－)+，令y=0，得点P的坐标为． ∴ PF=．选A． 4．假设x∈[－，－]，那么y=tan(x+)－tan(x+)+cos(x+)的最大值是 (A) (B) (C) (D) 解：令x+=u，那么x+=u+，当x∈[－，－]时，u∈[－，－]， y=－(cotu+tanu)+cosu=－+cosu．在u∈[－，－]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－时，y取得最大值，应选C． 5．x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，那么函数u=+的最小值是 (A) (B) (C) (D) 解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－)∪(，2)， u=+==1+． 当x∈(－2，－)∪(，2)时，x2∈(，4)，此时，9x2+≥12．(当且仅当x2=时等号成立)． 此时函数的最小值为，应选D． 6．在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，那么四面体ABCD的体积等于 (A) (B) (C) (D) 解：如图，把四面体补成平行六面体，那么此平行六面体的体积=1××sin×2=3． 而四面体ABCD的体积=×平行六面体体积=．应选B． 二．填空题(每题9分，共54分) 7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是 ． 解：即|x|3－2|x|2－4|x|+3<0，Þ(|x|－3)(|x|－)(|x|+)<0．Þ|x|<－，或<|x|<3． ∴ 解为(－3，－)∪(，3)． 8．设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，那么△PF1F2的面积等于 ． 解：F1(－，0)，F2(，0)；|F1F2|=2． |PF1|+|PF2|=6，Þ|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(2)2．故DPF1F2是直角三角形． ∴ S=4． 9．A={x|x2－4x+3<0，x∈R}， B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R} 假设AÍB，那么实数a的取值范围是 ． 解：A=(1，3)； 又，a≤－21－x∈(－1，－)，当x∈(1，3)时，a≥ －7∈(－7，－4)． ∴ －4≤a≤－1． 10．a，b，c，d均为正整数，且logab=，logcd=，假设a－c=9，那么b－d= ． 解：a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9． ∴ x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于 ． 解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45°而得．设E的射影为N，那么 MN=－1．EM=，故EN2=3－(－1)2=2．∴ EN=．所求圆柱的高=2+． 12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，那么= ． 解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1． 在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位那么1出现2n－1次． ∴ Sn=2n－2´…1+2n－2´10－n． ∴ =´=． 三、（此题总分值20分） 13．设≤x≤5，证明不等式 2++<2． 解：x+1≥0，2x－3≥0，15－3x≥0．Þ≤x≤5． 由平均不等式≤≤． ∴ 2++=+++≤2． 但2在≤x≤5时单调增．即2≤2=2． 故证． 四、(此题总分值20分) 14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R) 与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点． 解：曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t) ∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t．(0≤x≤1) y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1－x)2+2b(1－x)x+cx2 即 y=(a－2b+c)x2+2(b－a)x+a (0≤x≤1)． ① 假设a－2b+c=0，那么Z0、Z1、Z2三点共线，与矛盾，故a－2b+c¹0．于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线． AB中点M：+(a+b)i，BC中点N：+(b+c)i． 与AC平行的中位线经过M(，(a+b))及N(，(b+c))两点，其方程为 4(a－c)x+4y－3a－2b+c=0．(≤x≤)．