2023年量子力学期末考试题解答题.docx

学海无涯 量子力学期末考试题解答题 篇一：南通大学量子力学期末与 2023级量子力学期末考试试题和答案 A卷 一、简答与证明：（共25分） 1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分） 2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分） 3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 22 i(pxxp)是厄密算符 （5分） xx4、证明 x之间的测不准关系。5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标x和动量p （6分） B0，求 BA2B21，且A二、（15分）已经明白厄密算符A,B，满足A 、B的矩阵表示； 1、在A表象中算符A 的本征值和本征函数； 2、在B表象中算符A 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）设氢原子在t0时处于状态 111R21(r)Y10(,)R31(r)Y10(,)R21(r)Y11(,)222，求 (r,0) 2和Lz的取值几率和平均值； 1、t0时氢原子的E、L 2和Lz的取值几率和平均值。2、t0时体系的波函数，并给出如今体系的E、L 四、（15分）考虑一个三维状态空间的征询题，在取定的一组正交基下哈密顿算符 1000C0 030C00H 00200C 由下面的矩阵给出 H(0)H，C是一个常数，C1，用微扰公式求能量至二级修这里，H 正值，并与准确解相比拟。 五、（10分）令SSxiSy，SSxiSy，分别求S和S作用于Sz的本征态 1011 012和2的结果，并按照所得的结果说明S和S的重要性是什 么？ 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：Ae i (prEt) 2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为： 1 1(q1)2(q2)1(q2)2(q1)2。 A 222 x是厄密算符，因此x[px,x]i[px,x]px2px，由于pi(pxxp)i[p,x]ipxxx4、=22 xxi(pxxp)是厄密算符。 ，k是一个算符或一般的数。以、和的对易关系FGFGik和G5、设F 和k在态中的平均值，令 FG， 、GF，G依次表示F 2 ))(G(F 4，这个关系式称为测不准关系。 那么有 2 2 x之间的测不准关系为：坐标x和动量p xxp 2 的本征值是1，由于在A表象中，算符A21，因此算符A二、解1、由于A 10(A)A的矩阵是：01 的矩阵是对角矩阵，因此，在A表象中算符A b11b12(A)BbbB0得：BA2122，利用A设在A表象中算符B的矩阵是 00b120b12b12b21 1b21b1221，因此b210b2100b11b220；由于B，0 1 1b12b21；由于B是厄密算符，BB，b12 b12 00bx 12 1xb12b1 12x 0b12 i 在A表象中的矩阵表示式为：be12令，其中为任意实常数，得B 0(A)iBe ei0 0A(B)ei 2、类似地，可求出在B表象中算符A的矩阵表示为：0i 的本征方程为：e在B表象中算符A ei 0 eiei i0，即e ei0i e0和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 ei ei 02101 A 1ei1ei A221，对1有：1 对1有： 1ei1ei 的本征值是1，本征函数为21和21 因此，在B表象中算符A 1ei1ei 的本征值是1，本征函数为21和21 3、类似地，在A表象中算符B 在A表象中的本征函数按列排从A表象到B表象的幺正变换矩阵确实是将算符B 1ei S 21成的矩阵，即ei 1 (n1,2,3) es21 En 2a0n2 三、解： 已经明白氢原子的本征解为： nlm(r,,)Rnl(r)Ylm(,)，将(r,0)向氢原子的本征态展开， (r,0)1、=nlm c210(0) cnlm(0)nlm(r,,) ，不为零的展开系数只有三个，即 11c(0)1c(0)310211 2，2，显然，题中所给的状态并未归一2， 4 化，容易求出归一化常数为：5，因此归一化的展开系数为： c210(0) 1141 c310(0) 255，2 W(E2,0) 421 c211(0)55， 242 55 （1）能量的取值几率平均值为： 1232 W(E3,0)555，5， 32 E2E355 2取值几率只有：W(22,0)1，平均值L222 （2）L （3）Lz的取值几率为： W(0,0) 12322W(,0)Lz555，5 5，平均值 i c(0)(r,,)exp(Ent)nlmnlm 2、t0时体系的波函数为：(r,t)=nlm ii E2t)c310(0)310(r,,)exp(E3t) 12i2i[210(r,,)211(r,,)]exp(E2t)310(r,,)exp(E3t) 555 [c210(0)210(r,,)c211(0)211(r,,)]exp( 2和Lz皆为守恒量，因此它们的取值几率和平均值均不随时间改变，由于E、L 与t0时的结果是一样的。 I)0的本征值是方程det(H四、解：（1）H的根 C00C30(C2)(243C2) 00C2 2的准确解。 结果：C2，2C，这是H (0)(1)(2) EEEEnnnn（2）按照题意，体系能级的二级修正可写为： C 0，H220，H33 由题设可知：能量的一级修正为：H11 H21H31H12H13C20C2(2) E1(0)(0)(0)(0) EEEE131(2)2 1213关于二级修正，有： H12H32H21H23C20C2(2) E2(0)(0)(0)(0) E2E1E2E3313(2)2 22H13H23H31H32(2)CCE3(0)(0)0E11E23(0)(0) E3E1E3E22，2，E32C 因此， 2 将2C展开： 113C21C22 12，22， (C1)（3）比照可知，按照微扰公式求得的能量二级修正值，与准确求解的结果是吻合的。 1111i1SSxiSyi()0 2222222五、解：， 2C22(1C2) 1 2 S 1111i11SxiSyi()22222222 1111i11SSxiSyi() 22222222 1111i1SSxiSyi()0 2222222 因此S和S分别作用于Sz的本征态 S 101120和21的结果是 111111 0SSS0222222，，， 结果说明：称S为自旋升算符是合理的，由于它将z方向的自旋从2增加到 2。同样，称S为自旋降算符，由于它将z方向的自旋从2降到2。S和S容许我们从Sz的一个本征态腾跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是特别有用的。 B卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 和坐标x的共同本征函数。4、在一维情况下，求宇称算符P（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t和能量E的测不准关系。（5分） B0，求 BA2B21，且A二、（15分）已经明白厄密算符A,B，满足A 、B的矩阵表示； 1、在A表象中算符A 的本征值和本征函数； 2、在A表象中算符B 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 三、（15分）线性谐振子在t0时处于状态 (x,0) 12122 xexp(x)233，求 ，其中 1、在t0时体系能量的取值几率和平均值。2、t0时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵 1 20 223 0 332的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无互相作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 征询体系可能的状态有几个 它们的波函数如何样用单 篇二：080910203量子力学I期末考题(A)答案 山东师范大学2023年期末考试试题(A) 答案及评分标准 （时间：120分钟共100分） 课程编号：080910203 课程名称：量子力学 适用年级：2023 学制:四年 适用专业：物理学、光电 试题类别： A 一、简答题：（此题共5小题，每题5分，共25分） 1、在体系所处的某一个状态中测量不同的力学量，其测值概率分布是否一样？试举例说明。 答：在体系所处的状态中测量不同的力学量其测值概率分布是不一样的。 （2分） 比方某状态中测量出的坐标概率分布与动量概率分布可用不同函数来表示。 （3分） （给出其它适宜的例子同样给分） 2、试讨论：假设两算符对易，是否在所有态下它们都同时有确定值。 答：对易算符能够有共同的本征态，在共同本征态下它们同时取确定值。 （3分） 但假设所给定的态不是它们的共同本征态，在此态下两算符是不能同时取确定值的。比方 2的本征态。（2分） 2,s1z的本征态，尽管[S1z]0，但它不是S(1)(2)是s （不给例子，讨论适宜也给分） 3、试述全同粒子的特点以及对波函数的要求。 答：全同粒子的特点：任意交换两个粒子的位置不阻碍体系的状态。（3分） 这个特点要求描绘全同粒子的波函数对任意两个粒子的交换要么是对称的，要么是反对称的。 (2分) 4、使用狄拉克符号导出能量本征值方程在动量表象中的表示。 2p 答：在坐标表象下的能量本征值方程为 (V)|E| （1分） 22p 方程两边取动量表象，有 p||p|V|Ep| （1分） 2 令(p)p|，并参加完备性关系dp|pp|，并利用|p动量算符属于本征值p的本征函数，有（1分） p2 (p)dpp|V|pp|E(p) 2 p2 即 (p)dpVpp(p)E(p)（2分） 2 （从松处理，假设写的是含时薛定谔方程的动量表象，只扣1分） 5、以和分别表示自旋向上和自旋向下的归一化波函数，写出两电子体系的自旋单态和自旋三重态波函数（只写自旋局部波函数）。 |11(1)(2) 答：自旋三重态三个： |11(1)(2) （3分） |10 1 12 [(1)(2)(2)(1)] 自旋单重态一个: |00 2 [(1)(2)(2)(1)] （2分） （后面两个写得正确，给3分） 二、证明题（此题共3小题，每题10分，共30分） 1、证明在定态下，任意不显含时间t力学量A的取值概率分布不随时间改变。 证明：设在定态|ne i Ent 下，不显含时间的力学量A属于本征值ak的本征函数为|ak， 那么有 （2分） |ne i Ent ck(t)|ak （2分） kiEnt 两边同|al作内积，有 al|ne ck(t)al|ak （2分） k 即al|ne iEnt ck(t)lkcl(t) （2分） k 因此取值ak的概率分布是 |ck(t)|2|ak|n|2，显然不随时间改变。（2分） （用对时间求导的方法做，推证正确，不扣分） 2、已经明白在坐标表象下动量算符属于本征值p的本征函数为x|p 12 e i px ，试证明x 算符的矩阵元是(p)xxi表象中p 证明：按照题意，有 (xx)。 x (p)xxx|p|x dpdpx|p i p|p|pp|x （2分） i pxpx1 dpdpep(pp)e （2分） 2 p(xx)1dpep （