2023年兴义地区重点高考一轮复习教学案平面向量及运算的坐标表示高中数学.docx

5.2平面向量的坐标表示 一.明确复习目标 1．理解平面向量的坐标概念; 2.掌握平面向量的坐标运算,掌握共线向量的坐标表示； 二．建构知识网络 1.平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量作为基底。由平面向量的根本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。 (1) 假设,那么 (2)假设A(x1,y1),B(x2,y2)那么, 表示相等向量的有向线段的始点、终点的坐标未必相同. (3) 向量相等ó坐标相同。 2.平面向量的坐标运算 (1) 假设，那么 (2) 假设=(x,y)，那么=(x, y) (3) 假设，那么 3. 设那么 向量共线: 向量垂直:， 三、双基题目练练手 1.(2023山东)设向量a=〔1,-3〕，b=〔-2,4〕，c=〔-1,-2〕，假设表示向量4a、4b-2c、2〔a-c〕、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，那么向量d为 ( ) A.〔2,6〕 B.〔-2,6〕 C.〔2,-6〕 D.〔-2,-6〕 2.平面上A〔-2，1〕，B〔1，4〕，D〔4，-3〕，C点满足，连DC并延长至E，使||=||，那么点E坐标为： ( ) A、〔-8，〕 B、〔〕 C、〔0，1〕 D、〔0，1〕或〔2，〕 3.向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，那么|a+b|等于 ( ) A.1 B. C. D. 剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算. 4.(2023全国Ⅲ)向量，且A.B.C三点共线，那么k= . 5.(2023湖北)．向量不超过5，那么k的取值范围是 6.设=〔3，1〕，=〔-1，2〕，⊥，∥，O为坐标原点，那么满足+=的的坐标是＿＿＿＿　 7.向量，,向量与平行,︱︱=4那么向量的坐标是_____________ ◆例题答案:1-3.DBD; 3.∵|a+b|2+|a－b|2=2〔|a|2+|b|2〕，∴|a+b|2=2〔|a|2+|b|2〕－|a－b|2=6. 法2:利用 4. ; 5. [－6，2]; 6.〔１１，６〕. 7.或 四、经典例题做一做 【例1】平面内给定三个向量，答复以下问题： 〔1〕求满足的实数m,n； 〔2〕假设，求实数k； 〔3〕假设满足，且，求 解：〔1〕由题意得 所以，得 〔2〕 〔3〕设那么 由题意得 得或, ◆方法提炼：1.利用平面向量根本定理, 2.利用共线向量定理. 【例2】〔2023全国Ⅱ〕向量。 〔Ⅰ〕假设，求； 〔Ⅱ〕求的最大值。 解：〔Ⅰ〕 得 所以 〔Ⅱ〕 由 取最大值， ◆解题评注：向量一三角函数综合是一类常考的题目，要理解向量及运算的几何意义，要能熟练解答。 【例3】中，A(2,-1)，B(3,2)，C(-3,-1),BC边上的高为AD，求。 解：设D(x,y), 那么 得 所以 【例4】如图，设抛物线y2=2px〔p>0〕的焦点为F经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O 解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F(0)，那么C(y2) F A B C o y x 那么 ∵ 与共线, ∴ 即 〔x〕 代整理得，y1·y2=-p2 ∵ ∴ 与共线，即A、O、C三点共线， 也就是说直线AC经过原点O 解法二：设A(x1,y1)，C(,y2)，B(x2,y2) 欲证A、O、C共线，只需且仅需，即,又 ∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明 解题评注：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段〔直线〕平行，三点共线〔多点共线〕问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以防止繁冗的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了。向量与解析几何的综合是又一命题热点。 核心步骤: 【研讨.欣赏】(2023上海)在直角坐标平面中，点P1(1,2),P2(2,22), P3(3,23)……Pn(n,2n)，其中是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，．．．，An为An-1关于点Pn的对称点。 〔1〕求向量的坐标； 〔2〕当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x∈(0,3]时，f(x)=lgx。求以曲线C为图象的函数在上的解析式； 〔3〕对任意偶数n，用n表示向量的坐标。 解.(1)设点A0(x,y), A0关于点P1的对称点A1的坐标为(2-x,4-y), A1为P2关于点的对称点A2的坐标为(2+x,4+y), ∴={2,4}. (2) ∵={2,4}, ∴f(x)的图象由曲线C向右平移2个单位,再向上平移4个单位得到. 又x∈(3k,3k+3)时,x-3k∈(0,3), f(x)周期是3,所以f(x)=f(x-3k)=lg(x-3k) 设曲线C的函数是y=g(x),那么 g(x)=f(x+2)-4=lg(x+2-3k)-4, [此时x+2∈(3k,3k+3), 即 x∈3k-2,3k+1),] 是以3为周期的周期函数. 当x∈(1,4]时,g(x)=lg(x+2-3)-4=lg(x-1)-4. (3) =, 由于,得 =2() =2({1,2}+{1,23}+┄+{1,2n-1}) =2{,}={n,} 五．提炼总结以为师 1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法那么进行运算。 2、两个向量平行的坐标表示。 3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合。 同步练习 5.2平面向量的坐标表示 【选择题】 1.〔2023年天津，理3〕假设平面向量b与向量a=〔1，－2〕的夹角是180°，且|b|=3，那么b等于 ( ) A.〔－3，6〕 B.〔3，－6〕 C.〔6，－3〕 D.〔－6，3〕 2.正方形PQRS对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且=〔0，3〕，=〔4，0〕，那么= 〔 〕 A、〔〕 B、〔〕 C、〔7，4〕 D、〔〕 3. 〔2023年辽宁，6〕点A〔－2，0〕，B〔3，0〕，动点P〔x，y〕满足·=x2，那么点P的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 4.〔2023全国Ⅱ〕平面上直线l的方向向量e=〔－，〕，点O〔0，0〕和A〔1，－2〕在l上的射影分别是和A′，那么=λe，其中λ等于 ( ) A. B.－ C.2 D.－2 【填空题】 5.且与平行，那么x=______ 6．〔2023天津〕在直角坐标系xOy中，点A(0,1)和点B(-3,4)，假设点C在∠AOB的平分线上且| |=2,那么= ◆练习简答：1-4.AADD; 4.∵是单位向量,∴在上的投影为λ=, 5.; 6. 【解答题】 7.平面上四点A(1,2),B(5,8),C(-2,6),D(a,b),求当四边形ABCD为凸四边形且BD平分AC时,实数a,b应满足的条件. 解:设AC,BD交于点E,易得,又 设,(λ>1) ∴且 8.点A(2,3),B(5,4),C(7,10),假设,试问 (1)λ为何值时,点P在一、三象限角平分线上？ 〔2〕λ为何值时，点P第三象限？ 解.设点P的坐标为〔x,y〕，那么 ，由得 ，点P坐标为〔5+5λ,4+7λ〕. 9.( 2023山东)向量和，且，求的值 解:　因为 　　　 由，得 又 所以　　 ∵　所以 10. .A〔4，0〕，N〔1，0〕，假设点P满足·=6||. 〔1〕求点P的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线； 〔2〕求||的取值范围； 解：〔1〕设P〔x，y〕，=〔x－4，y〕，=〔1－x，－y〕，=〔－3，0〕，∵·=6||， ∴－3〔x－4〕=6，即3x2+4y2=12. ∴=1.∴P点的轨迹是以〔－1，0〕、〔1，0〕为焦点，长轴长为4的椭圆. 〔2〕N〔1，0〕为椭圆的右焦点，x=4为右准线，设P〔x0，y0〕，P到右准线的距离为d，d=4－x0，=e=，|PN|=d=.∵－2≤x0≤2，∴1≤|PN|≤3. 当|PN|=1时，P〔2，0〕；当|PN|=3时，P〔－2，0〕. 【探索题】向量与的对应关系用表示 （1） 证明：对于任意向量及常数m，n恒有 成立； （2） 设，求向量及的坐标； 求使，〔p，q为常数〕的向量的坐标 证：〔1〕设，那么 ，故 ， ∴ 〔2〕由得=〔1，1〕，=〔0，－1〕 〔3〕设=〔x，y〕，那么， ∴y=p，x=2p－q，即=〔2P－q，p〕