2023年高中数学竞赛标准讲义第六章三角函数doc高中数学.docx

2023高中数学竞赛标准讲义：第六章：三角函数 一、根底知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。假设旋转方向为逆时针方向，那么角为正角，假设旋转方向为顺时针方向，那么角为负角，假设不旋转那么为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。假设圆心角的弧长为L，那么其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,那么正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα= 定理1 同角三角函数的根本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z. 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的根本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)= 定理7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos, cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin, sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]. 定理8 倍角公式:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= 定理9 半角公式:sin=,cos=, tan== 定理10 万能公式: , , 定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，那么取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，那么sinβ=,cosβ=，对任意的角α. asinα+bcosα=sin(α+β). 定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。 定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。 定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。 定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=. 定理16 假设，那么sinx<x<tanx. 二、方法与例题 1．结合图象解题。 例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。 2．三角函数性质的应用。 例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。 【解】 假设，那么cosx≤1且cosx>-1，所以cos， 所以sin(cosx) ≤0,又0<sinx≤1, 所以cos(sinx)>0， 所以cos(sinx)>sin(cosx). 假设，那么因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<， 所以0<sinx<-cosx<， 所以cos(sinx)>cos(-cosx)=sin(cosx). 综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)<sin(cosx). 例3 α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证： 【证明】 假设α+β>，那么x>0，由α>-β>0得cosα<cos(-β)=sinβ, 所以0<<1，又sinα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1， 所以 假设α+β<，那么x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0, 所以>1。又0<sinα<sin(-β)=cosβ，所以>1， 所以，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期确实定。 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）, 所以假设最小正周期为T0，那么T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。 4．三角最值问题。 例5 函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令sinx=, 那么有y= 因为，所以， 所以≤1， 所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0， 当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2. 【解法二】 因为y=sinx+, =2（因为(a+b)2≤2(a2+b2)）， 且|sinx|≤1≤，所以0≤sinx+≤2， 所以当=sinx，即x=2kπ+(k∈Z)时, ymax=2， 当=-sinx，即x=2kπ-(k∈Z)时, ymin=0。 例6 设0<<π，求sin的最大值。 【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0. 所以sin（1+cos）=2sin·cos2= ≤= 当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。 例7 假设A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。 【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ① sinC+sin, ② 又因为，③ 由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin, 所以sinA+sinB+sinC≤3sin=, 当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=. 注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例8 求的值域。 【解】 设t=sinx+cosx= 因为 所以 又因为t2=1+2sinxcosx, 所以sinxcosx=，所以， 所以 因为t-1，所以，所以y-1. 所以函数值域为 例9 a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>. 【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈，那么 an= 因为，an∈，所以an=，所以an= 又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。 又因为当0<x<时，tanx>x，所以 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。 6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0). 由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。 例10 例10 f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。 【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。 又0≤≤π，解得=， 因为f(x)图象关于对称，所以=0。 取x=0，得=0，所以sin 所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z). 又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数； 取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数； 取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数， 综上，=或2。 7．三角公式的应用。 例11 sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。 【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=- 又因为α+β∈，所以cos(α+β)= 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos